Supongamos $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es continua y positiva. Mostrar que $$\lim_{n\to \infty}\left[ \int_a^bf(x)^n\,dx \right)^{1/n}=\max_{x\in[a,b]}f(x).$$
Mi progreso: Una versión más simple del problema es que suponga $x_1, \dotsc, x_m$ son números positivos, y mostrar que $$\lim_{n\to\infty}\left( x_1^n + \dotsb + x_m^n \right)^{1/n} = \max_i x_i.$$ This we can do by showing that $\registro \left( x_1^n + \dotsb + x_m^n \right)^{1/n} \a \log (\max_i x_i)$. $$\log \left( x_1^n + \dotsb + x_m^n \right)^{1/n} = \frac{1}{n}\log \left( x_1^n + \dotsb + x_m^n \right) = \frac{1}{n}\left( n\log\left( \max_i x_i \right) + \log \left( \left(\frac{x_1}{\max_i x_i} \right)^n + \dotsb + \left(\frac{x_M}{\max_i x_i} \right)^n \right)\right)\\ = \log\left(\max_i x_i\right) + \frac{1}{n}\log\left(\text{bounded}\right)\to \log\left( \max_i x_i\right).$$
Ahora con el caso de una función que está siendo integrado, si intentamos el mismo argumento, dejando $M= \max_{x\in [a,b]}f(x)$, tendríamos $$\log \left( \left(\int_a^b f(x)^n\,dx \right) ^{1/n}\right) = \log M + \frac{1}{n}\log \left(\int_a^b (f(x)/M)^n \, dx \right),$$ y ahora la tarea es mostrar que el segundo término tiende a cero.
Veo que se va a cero si $\{x\mid f(x)=M\}$ tiene medida positiva, desde entonces la integral es acotado abajo por la medida de ese conjunto. ¿Cómo podemos mostrar el segundo término tiende a cero de otra manera?