Notación: $L_p$ vs $\ell_p$

Question

$L_p$ se utiliza a menudo para describir una norma, o un espacio vectorial con que la norma (ver, por ejemplo, wikipedia). Es $\ell_p$ (normalmente, o canónicamente) una notación diferente para el mismo concepto, o se utiliza para indicar algo diferente?

Answer 1

$\ell^p$ espacios son un caso especial de $L^p$ espacios.

Si $(X,\mu)$ es una medida de espacio, $L^p(X)$ (o $L^p_{\mathbb{R}}(X)$) es el de Banach) el espacio de todas las funciones medibles $f\colon X\to \mathbb{R}$ tal que $$\int_X |f|^p\,d\mu\lt \infty.$$

En el caso especial en que $X=\mathbb{N}$ $\mu$ es el recuento de medida, las funciones de $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ puede ser llevado a ser secuencias de elementos de $\mathbb{R}$, y la integral es la suma de los términos de la secuencia. Es decir, $L^p(\mathbb{N})$ es el conjunto de secuencias de $(x_i)$ tal que $\sum |x_i|^p\lt\infty$. Para denotar este caso especial, que se produce muy a menudo, utilizamos $\ell^p$.

(Se puede reemplazar $\mathbb{R}$ con cualquier normativa espacio vectorial, reemplazando el valor absoluto de la norma.)