Compacto métrica espacios pueden ser cubiertos por un número finito de $\epsilon$-bolas

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto, mostrar:

i) Para cualquier $\epsilon>0$ hay$n \in \mathbb N$$ x_{1},..., x_{n} \in X $, de modo que $X=\bigcup_{j=1}^{n}B_{\epsilon}(x_{j})$

Mis pensamientos hasta el momento (no mucho):

Desde $X$ es un espacio compacto existe $\bigcup_{j=1}^{N}U_{\lambda_{j}}$ tal que $X \subset \bigcup_{j=1}^{N}U_{\lambda_{j}}$.

Una gran ayuda sería decir que $\bigcup_{j=1}^{N}U_{\lambda_{j}} \subset X$, pero que no tiene derecho?

Answer 1

SUGERENCIA: si $X$ es compacto, entonces para cualquier apertura de la tapa hay un número finito de subcover. Ahora sólo tienes que elegir la tapa abierta definida por $\mathcal B(\epsilon):=\{\Bbb B(x,\epsilon):x\in X\}$ cualquier $\epsilon>0$.

Answer 2

Ya que no dicen lo que el $U_{\lambda_j}$'s son, nada se puede decir mucho acerca de su intento.

Simplemente hay que considerar el conjunto de$$\left\{B_\varepsilon(x)\,\middle|\,x\in X\right\}.$$It's an open cover of $X$ and $$ X es compacto. Por lo tanto...