Antecedentes
Estoy trabajando en un simulacro de fluido 2D invisible e incompresible usando métodos de vórtice (es decir, tratando el vórtice como partículas discretas), y estoy tratando de resolver (numéricamente) las condiciones de los límites no pasantes, que simplemente dicen que el fluido no puede pasar a través de los límites del fluido (lo que significa las paredes de su contenedor o cuerpos flotando en el fluido). Un par de fuentes diferentes que tengo sugieren una forma de hacerlo: construir un campo escalar de tal manera que su gradiente detenga el flujo de fluido en los límites. Es decir:
$$ \nabla \Phi \cdot \mathbf {n} = ( \mathbf {u_b} - \mathbf {u_ \omega }) \cdot \mathbf {n}$$
donde $ \Phi $ es el campo escalar que necesito encontrar, $ \mathbf {u_ \omega }$ es el campo de velocidad del fluido sin las condiciones límite, $ \mathbf {u_b}$ es la velocidad del límite mismo, y $ \mathbf {n}$ es la normalidad superficial normalizada del límite.
Porque el flujo es incompresible, $ \Delta \Phi = 0$ (es decir: la ecuación de Laplace). Una fuente que tengo ("Métodos de Vórtice, Teoría y Práctica") dice que puedes resolver esto usando una superposición de las funciones de Green. Esto parece:
$$ \frac { \partial \Phi }{ \partial \mathbf {n}}( \mathbf {x_b}) = \pm \frac {1}{2} \sigma ( \mathbf {x_b}) + \int_S {[ \sigma ( \mathbf {x_b'}) G( \mathbf {x_b} - \mathbf {x_b'}) - \mu ( \mathbf {x_b'}) \mathbf {n} \cdot \nabla G( \mathbf {x_b} - \mathbf {x_b'})] dS( \mathbf {x_b'})}$$
donde $ \mathbf {x_b}$ es un punto en el límite, $G( \mathbf {x_b} - \mathbf {x_b'})$ es la función de Green, y en 2D es $- \frac { \log (| \mathbf {x_b} - \mathbf {x_b'}|)}{2 \pi }$ y $S$ es el límite que estoy tratando de evitar que el fluido atraviese (es decir: en 2D es el borde de un polígono). También:
$$ \mu = \Phi_e - \Phi_i $$
Es decir, es la diferencia en el potencial ( $ \Phi $ ) en lados opuestos de la frontera. El libro se refiere a esto como el "potencial de doble capa". Y..:
$$ \sigma = \frac { \partial \Phi_e }{ \partial \mathbf {n}} - \frac { \partial \Phi_i }{ \partial \mathbf {n}} $$
El libro se refiere a esto como el potencial de una sola capa o "fuente".
Entonces el libro asume que el potencial es continuo, así que podemos decir que $ \mu = 0$ . Un gran término en la integral de arriba se cancela, y finalmente nos queda:
Ecuación final
$$( \mathbf {u_b} - \mathbf {u_ \omega }) \cdot \mathbf {n}( \mathbf {x_b}) = - \frac {1}{2} \sigma ( \mathbf {x_b}) + \int_S { \sigma ( \mathbf {x_b'}) G( \mathbf {x_b} - \mathbf {x_b'}) dS( \mathbf {x_b'})}$$
Preguntas
Primero, si alguien tiene algún antecedente en fluidos o potencial, ¿es correcta la descripción anterior? Esto no es matemáticas que me hayan enseñado formalmente, y lo estoy reconstruyendo a medida que avanzo.
Además, si entiendo correctamente, para poder resolver esto, necesito "discretizar" esta integral para convertirla en un sistema de ecuaciones algebraicas, formar una gran matriz, y resolverla para el $ \sigma $ condiciones. Una forma sencilla de hacer esto sería simplemente seleccionar $n$ puntos uniformemente espaciados a lo largo del borde del polígono (¿eso es correcto?).
Sin embargo, no entiendo lo que el $ \sigma $ El término en realidad es. En la definición parece que es el jacobino de $ \Phi $ con respecto a lo normal, lo que lo convertiría en un vector de fila. Pero en la ecuación final anterior, parece estar tratándolo como un término escalar.
Además, una vez que tenga el $ \sigma $ términos, ¿qué hago realmente con ellos? En última instancia quiero calcular $ \nabla \Phi ( \mathbf {x})$ para algún punto arbitrario en el espacio $ \mathbf {x}$ pero no veo cómo hacerlo una vez que tienes el $ \sigma $ condiciones.
Encontré un artículo sobre el potencial de doble capa con matemáticas que parecen muy familiares, así que supongo que este es un problema bien entendido, pero ciertamente no lo estoy entendiendo :). Si alguien puede guiarme a través de las piezas finales de las matemáticas para que pueda llegar a un punto en el que realmente pueda programar esto, se lo agradecería.
