Es allí una manera de resolver de forma explícita los siguientes funcional de la ecuación?

Question

Quiero encontrar a una función desconocida (en realidad CDF) $F(p)$ que resuelve

$1 - \lambda F(\frac{q_L}{q_H}p) - (1-\lambda)F(p-[q_H-q_L]) - \frac{K}{p-c_H} = 0$,

donde $0<\lambda<1$, $q_H > q_L > 0$, $q_H > c_H > 0$, $K>0$, y $p \in (c_H, q_H]$.

Por desgracia, no realmente tener una idea de cómo proceder, aparte de adivinar al azar formas funcionales (estoy nota incluso seguro acerca de que las etiquetas para elegir para este problema). Así que cualquier sugerencia será muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Que se desea resolver $$1 - \lambda F(\frac{q_L}{q_H}p) - (1-\lambda)F(p-[q_H-q_L]) - \frac{K}{p-c_H} = 0$$ Deje $S$ ser una escala operador $S F(p)=F(s p)$$s=\frac{q_L}{q_H}$. Deje $T$ ser una traducción del operador con $T f(p)=F(p-t)$$t=q_H-q_L$. Entonces la ecuación se convierte en $$ \lambda S F + (1-\lambda)T F = -\frac{K}{p-c_H}+1$$ $$ \left( \lambda S + (1-\lambda)T \right) F = -\frac{K}{p-c_H}+1$$ $$ (1-\lambda)\left( \frac{\lambda}{1-\lambda} S + T \right) F = -\frac{K}{p-c_H}+1$$ Supongamos que $\epsilon=\frac{\lambda}{1-\lambda}$ es pequeña. $$ (1-\lambda)\left( T + \epsilon S\right) F = -\frac{K}{p-c_H}+1$$ $$ (1-\lambda) F = -\left( T + \epsilon S\right)^{-1}\frac{K}{p-c_H}+\left( T + \epsilon S\right)^{-1}1$$ Para la constante de funciones, tales como $1$ ambos $T$ $S$ reducir a la identidad del operador $$ (1-\lambda) F = -\left(\left( T + \epsilon S\right)^{-1}\frac{K}{p-c_H}\right)+\frac{1}{1 + \epsilon}$$ Lo que queda por hacer es calcular $$ \left( T + \epsilon S\right)^{-1}\frac{K}{p-c_H}$$ Con suerte, el uso de una expansión de la serie $$ \left( \sum_{i=0}^{\infty} (-\epsilon)^i(T^{-1} S)^i T^{-1}\right)\frac{K}{p-c_H}$$ Ahora

• $T^{-1}f(x)=f(x+t)$
• $T^{-1} S T^{-1}f(x)=f(s(x+t)+t)$
• $T^{-1} S T^{-1} S T^{-1}f(x)=f(s(s(x+t)+t)+t)$
• $(T^{-1} S)^i T^{-1}f(x)=f(s^i x+t \sum_{j=0}^i s^j)=f\left(s^i x+t \frac{s^{i+1}-1}{s-1}\right)$

así $$ \left( \sum_{i=0}^{\infty} (-\epsilon)^i(T^{-1} S)^i T^{-1}\right)\frac{K}{p-c_H} = K \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-\epsilon)^i}{s^i p+t \frac{s^{i+1}-1}{s-1}-c_H} $$ $$ \left( \sum_{i=0}^{\infty} (-\epsilon)^i(T^{-1} S)^i T^{-1}\right)\frac{K}{p-c_H} = K \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(s-1)(-\epsilon)^i}{(s-1)(s^i p-c_H)+t (s^{i+1}-1)} $$ Ahora, la pregunta es, ¿puede esta suma debe ser evaluado en forma cerrada? Wolfram alpha es de poca ayuda, a pesar de que felizmente se calcula que este relacionado con suma.

Resumen: bajo diversas condiciones de convergencia, $F$ puede ser escrita de la siguiente manera $$ F = 1 -\frac{K}{1-\lambda} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\left(-\frac{\lambda}{1-\lambda}\right)^i}{s^i p+t \frac{s^{i+1}-1}{s-1}-c_H}$$ Podemos comprobar que esto es correcto en el $\lambda=0$ caso $$ F(p) = 1 -K \frac{1}{ p+t-c_H}$$ de hecho, obedece a $$1 - F(p-t) - \frac{K}{p-c_H} = 0$$

Tres puntos más:

• La relación de la prueba le dirá que la suma se deriva de aquí sólo convergen $\epsilon<1$ es decir $\lambda<1/2$. Para obtener la otra mitad de la solución ($\lambda$ cerca de 1 caso), escribir en lugar de $$ \lambda \left( S + \frac{1-\lambda}{\lambda}T \right) F = -\frac{K}{p-c_H}+1$$ y expandirse en el pequeño y nuevo parámetro de $\frac{1-\lambda}{\lambda}$.
• Esta función tiene un número infinito de manera exponencial espacio singularidades en el eje real, el mayor de los cuales es en $p=c_H-t$. No ocurren dentro de su región de interés $p\in ]c_H,q_H]$, lo cual es bueno, pero hacen muy poco probable que una simple forma cerrada de expresión existe.

• Esta función es válida CDF entre sus más altas cero y $\infty$, es decir, es no decreciente y enfoques 1. Sin embargo, su más alto de cero no es igual a $c_H$, y puede ser $>c_H$ (esto sucede cuando $K$ es grande), en cuyo caso es no válido CDF dentro de la región de $p\in ]c_H,q_H]$.