Es el proyectivas de cierre de una variedad lisa todavía suave?

Question

Deje $X$ ser un cerrado subscheme de $\mathbb{A^n}$ (más de un basefield) definido por un ideal $I$ y considerar la inmersión $\mathbb{A^n}\to \mathbb{P^n}$, $(x_1,\ldots, x_n)\mapsto [x_1,\ldots,x_n,1]$. Se puede considerar la variedad proyectiva $\bar X$ $\mathbb{P^n}$ dada por el homogeneizada ideal $\bar I$. Este ideal se compone de homogeneizada elementos de $I$, así que por ejemplo si $f=x_1^2+x_2+1$$I$$\bar f=x_1^2+x_2x_{n+1}+x_{n+1}^2$$\bar I$. A continuación, $\bar X$ es el proyectivas de cierre de la imagen de $X$ bajo$\mathbb{A^n}\to \mathbb{P^n}$, ¿verdad? Me pregunto si la suavidad es hereditaria.

Si $X$ es un buen afín esquema sobre el campo base, es $\bar X$ liso, demasiado?

Answer 1

No. No hay ninguna razón para que la curva sea suave en los puntos en el infinito. Para simplificar voy a dar un contraejemplo para algebraicamente cerrado campos de carácter no $2$ o $3$. Considere la curva $X$ $\mathbb{A}^2$ definido por la ecuación $$x y^2 - 1 = 0$$ Es sencillo comprobar que $$y^2 \, \mathrm{d}x + 2 x y \, \mathrm{d} y$$ es la nada de fuga en $X$, lo $X$ es no singular.

El proyectivas de cierre $\overline{X}$ $\mathbb{P}^2$ es definida por la ecuación $$x y^2 - z^3 = 0$$ Ahora, vamos a considerar los afín a la pieza de la $\overline{X} \cap \{ x \ne 0 \}$. Este es afín a la curva definida por la ecuación $$y^2 - z^3 = 0$$ y es fácilmente comprobado que esta curva tiene una cúspide en $(0, 0)$. Por lo tanto la curva de $\overline{X}$ es singular en el punto de $(1 : 0 : 0)$ (y, de hecho, sólo allí).

Dicho esto, al menos para los no-singular curvas de $X$, siempre hay un no-singular curva proyectiva que contengan $X$ como una densa abrir subvariedad. Esto se hace en, por ejemplo, Hartshorne [Ch. I, §6]. La única cosa es que esta curva proyectiva puede vivir en un espacio proyectivo de dimensión mayor que el espacio afín con el que comenzó!

Answer 2

No, la suavidad de $X$ no es heredado por $\bar X$.
Tomar dos líneas paralelas en $\mathbb A^2_k$. Su unión a $X\subset \mathbb A^2_k$ es un buen plan, pero las líneas se juntan en un punto singular de $\bar X $ en el infinito, de modo que $\bar X \subset \mathbb P^2_k$ ya no es suave.
Los artistas del renacimiento, que inventó la perspectiva, nos han dado las hermosas pinturas de estos esquemas.

Answer 3

En cierto sentido, lo opuesto es la verdad. Es decir, vamos a $X \subset \mathbb{P}^n$ ser una irreductible cuasi-proyectiva variedad (más de un algebraicamente cerrado de campo, digamos). Entonces no es una subvariedad cerrada $S \subset X$ consiste de los puntos singulares, por lo $Y = X \setminus S$ es un buen cuasi-variedad proyectiva.

En otras palabras, si la respuesta a su pregunta fuera "sí", entonces todas las variedades sería suave!

Answer 4

Un montón de buenas respuestas ya aquí, pero he aquí otra razón por la que su afirmación es falsa. Considere la posibilidad de una singular variedad proyectiva $X \subseteq \mathbb{P}^n$ y supongamos que el singular locus está contenida en un hyperplane $H \subseteq \mathbb{P}^n$. (Por ejemplo, cualquier plano de la curva con un único punto singular se ajusta a esta descripción.) A continuación, $X' = X \setminus X \cap H$ es un buen afín variedad (sentado en $\mathbb{A}^n \cong \mathbb{P}^n \setminus H$) cuyos proyectivas de cierre es la singular variedad $X$.