Necesita ayuda para entender la prueba de $g(x) = f(cx) \implies g'(x) = c\cdot f'(cx)$

Question

Así que he usado la definición de un límite en $g(x)$ para obtener: $$g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$ luego subsituted $f(cx)$: $$g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c(x+h))-f(cx)}{h}$$ y entonces mi libro de texto dice que hacer esto: $$f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c(f(c(x+h)) - f(cx))}{h}$$ Pero no entiendo cómo que sigue, alguien puede ayudar?

Answer 1

Ayuda para utilizar una sustitución. Si dejamos $k = ch$,$h \to 0$,$k \to 0$. Así: \begin{align*} g'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(c(x + h)) - f(cx)}{h} \\ &= c\lim_{h \to 0} \frac{f(cx + ch) - f(cx)}{ch} \\ &= c\lim_{k \to 0} \frac{f(cx + k) - f(cx)}{k} \\ &= c f'(cx) \end{align*}

Answer 2

Definir $h(x)=cx$$g=f\circ h$. Ahora, $g'(x)=f'(h(x)).h'(x)=f'(cx).c$

Answer 3

En primer lugar se podría utilizar la regla de la cadena que indique que $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$ a probar esta igualdad. Sin embargo el uso de su método, cuando el sustituto $f$, observe cómo se han $f(c(x+h))-f(cx)$ y cuando se distribuyen $c$ va a crear un cambio en $x$$ch$. Por lo tanto, debe ser $$f'=\lim_{h\to0}\frac{f(c(x+h))-f(cx)}{ch}$$ Multiplicar ambos lados por $c$ conseguir (como su libro de texto dice que se debe hacer) $$cf'=\lim_{h\to0}\frac{f(c(x+h))-f(cx)}{h}$$ que cancela la $c$ en el denominador del límite. A continuación, sustituir $g$ de devolución en llegar $$cf'=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'$$

Answer 4

Se debe decir lo siguiente: $$ f'(cx) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(c(x+h) - f(cx)}{ch}. \tag 1 $$

El punto es que $$ f'(cx) = \lim_{j\to0} \frac{f(cx+j) - f(cx)} j $$

Lo que esta cosa se llama $j$ que los enfoques $0$ no importa, así que podría ser $ch$ donde $h$ enfoques $0$, y, a continuación, usted tiene $(1)$.

De $(1)$ podemos deducir esto: $$ cf'(cx) = \lim_{h\to0} \frac{f(c(x+h) - f(cx)} h. $$ Eso significa que $\dfrac d {dx} f(cx) = cf'(cx)$.