Si $E(X\mid Y)=Z$, $E(Y\mid Z)=X$ y $E(Z\mid X)=Y$, $X=Y=Z$ casi seguramente

Question

Vamos $X$, $Y$, y $Z$ tres variables aleatorias en $L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Supongamos que tenemos $E(X|Y)=Z$, $E(Y|Z)=X$, y $E(Z|X)=Y$. Mostrar que $X=Y=Z$.s.

Soy capaz de mostrar esto en $L^{2}$; de hecho, no, es muy fácil la prueba. Estoy teniendo problemas para probarlo por $L^{1}$, sin embargo, porque en $L^{1}$, con la condición de que las expectativas son definidos en términos de sub $\sigma$-álgebras de $\mathcal{F}$, y esa no es la forma en que está expresado aquí. Supongo que mi problema principal es la de expresar el condicional expectativas de los dados en el problema como puedo usar los resultados para$L^{1}$. Puede alguien por favor me ayude a hacer eso?

Answer 1

$E(X\mid Y) = Z$ implica que el $Z$ $\sigma(Y)$medible y de la misma manera $E(Z \mid X) = Y$ implica que el $Y$ $\sigma(X)$- medible. Por transitividad, esto demuestra que $Z$ se $\sigma(X)$ medibles, por lo que el $E(Z\mid X)=Z = Y$.

Et caetera.