Quiero demostrar la existencia de $\{\omega, \omega+1,\cdots\}$ utilizando el axioma de sustitución mediante la definición de una función $f:\omega \mapsto \omega+\omega$ con $f(n)=\omega+n$ . Pero la función de clase tiene que ser definible por alguna fórmula. No estoy muy seguro de cómo escribir esa fórmula explícitamente (dentro de ZFC).
Gracias de antemano.
Este tipo de cosas es en general la función del teorema de recursión. Así es como funciona en este caso concreto:
Tenemos una "función" definida recursivamente $F$ que queremos demostrar que puede ser expresada por una fórmula (y por tanto, por sustitución, por una función de buena fe). $F$ debe definirse en $\omega$ y para satisfacer
donde $s$ es la función sucesora.
Digamos que una función $f$ es un intento al definir $F$ si su dominio es un segmento inicial de $\omega$ y satisface las ecuaciones anteriores siempre que tengan sentido. Todo esto se puede expresar fácilmente como una fórmula:
$$(f \text{ is a function}) \land (\exists n \in \omega (\mathrm{dom}(f)=n))\land (0 \in \mathrm{dom}(f) \to f(0)=\omega) \land (\forall n \in \omega (s(n)\in \mathrm{dom}(f) \to f(s(n))=s(f(n))))$$
Es fácil demostrar por inducción que para cualquier $n$ , hay un intento definido en $n$ y que dos intentos cualesquiera coinciden en las intersecciones de sus dominios. Así, podemos definir $F$ declarando $F(a)=b$ para significar que "existe un intento $f$ definido en $a$ con $f(a)=b$ ".
Gracias. Pero el problema es si "existe un intento f definido en a con f(a)=b" es definible en alguna fórmula de primer orden? Digamos $f_n$ es la aproximación n-inicial, entonces $\exists n f_n \cdots$ no es realmente una fórmula, ¿verdad?
@Jing: ¿Qué tienen que ver las "aproximaciones n-iniciales"? Ya he explicado lo que significa "intento". ¿No ves cómo escribir "f es un intento" como una fórmula? Eso debe ser tedioso pero en realidad no es difícil.
Veo cómo escribir una función finita como fórmula. Pero no estoy seguro de cómo se utilizan las aproximaciones para definir $F$ utilizando alguna fórmula del lenguaje $L=\{\in,\exists,\forall,(,),etc.\}$ ?
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Este es exactamente el tipo de cosas para las que sirve el teorema de recursión.
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Tenga en cuenta que si tiene la función $f:\omega\to\ \omega+\omega$ Ya tienes $\mathrm{Cod}(f)=\omega+\omega$ . Y eliminando todos los conjuntos finitos de $\omega+\omega$ te quedas con $\{\omega,\omega+1,...\}$ porque así es como funcionan los ordinales (von Neumann). No es necesario sustituirlos.