¿Es cierto esto?

Question

Deje $n,r,k$ ser no negativos números enteros tales que a $r,k\leq n$.

Si $r^{n-r}=k^{n-k}$, cuando esto es verdad que otros de $r=k$ ?

Por ejemplo se tiene por $n=6,r=2,k=4$.

Answer 1

Esta ecuación tiene muchas soluciones. No tengo forma general para encontrar todas estas soluciones, pero si sólo estás interesado en la búsqueda de algunos otros valores que tiene, puede hacer lo siguiente: $$r^{n-r} = k^{n-k} \quad\Longrightarrow\quad 1=\frac{k^{n-k}}{r^{n-r}}=\left(\frac{k}{r}\right)^{n-r}k^{r-k} \quad\Longrightarrow\quad k^{k-r}=\left(\frac{k}{r}\right)^{n-r}.$$ Esto conduce a una expresión para $n$, dependiendo de la $r$$k$: $$n=r+\frac{\ln{k}}{\ln{k}-\ln{r}}(k-r).$$ Usted puede elegir cualquier $r$ $k$ y la ecuación se dará $n$. Usted puede hacer un bucle que va a lo largo de muchos a $r$'s y $k$'s y comprobar si el correspondiente $n$ es un número entero.

Por ejemplo, en Matlab se podría:

for r = 1:r_end
  for k = 1:k_end 

    n = r + log(k^(k-r)) / (log(k)-log(r));
    if mod(n,1) == 0
      disp(['r = ', num2str(r), ' , k = ', num2str(k), ' , n = ', num2str(n)])
    end

  end
end

Esto da muchas soluciones, tales como $[r,k,n] = [27,3,39]$, $[49,7,91]$ o $[9,81,153]$.

Answer 2

Tenemos que $n,r,k$ ser no negativos números enteros tales que a $r,k\leq n$.

La primera de todas las $(r,k,n)=(0,0,n)$ donde $n \neq 0$ es una solución trivial para $r^{n-r} = k^{n-k}$.

Para más soluciones, hemos

$$\begin{align} r^{n-r} & = k^{n-k} \\ (n-r) \cdot \ln r & = (n-k) \cdot \ln k \\ n & = {\frac{r\ln r - k\ln k}{\ln r - \ln k}}. \end{align}$$

Ahora a dar, que $n$ es un número entero deje $a$ ser un entero no negativo, y tome $k=r^a$. Si $a=1$, $r=k$ y, a continuación, si $r=k=0$,$n\neq r$, pero otra cosa $n$ podría ser cualquier cosa. Si $a \neq 1$, luego

$$n = \frac{r-ar^a}{1-a},$$

que es un número entero para que proceda $(r,a)$ pares. No sé una condición para ello.

Así que creo que hay infinitly muchas soluciones en el formulario $$(r,k,n) = \left(r,r^a,\frac{r-ar^a}{1-a} \right).$$

Si usted puede encontrar tal condición para $n$, que cuando es entero, entonces usted podría encontrar todas las soluciones.

Ejemplos: $(2,4,6), (2,8,11), (3,9,15), (3,27,39), (3,81,107), (3,243,303) (4,16,28), (4,64,94), (4,256,340), (4,1024,1279), (5,25,45), \ \dots$

Answer 3

Supongamos $$r^{n-r}=k^{n-k}.$$
Entonces $$\frac{r^n}{r^r}=\frac{k^n}{k^k}=i$$ for some integer $i.$
Entonces existen enteros $p,q$ tal que $$i=r^p=k^q.$$ A continuación, puede ver fácilmente que $n$ debe ser en la forma $$n=r+p=k+q.$$ Por lo tanto, tenemos que encontrar los números enteros $p, q, r, k$ tal que $r^p=k^q$ $r+p=k+q.$
No son contables muchas soluciones para esto!
Elegir, por ejemplo, $k=r^2,$ entonces tenemos que encontrar $p,q$ tales que la ecuación cuadrática $$r^2-r+(q-p)=0$$ has integer solutions and $p=2q.$
A continuación, $1+4(p-q)=1+4q$ debe un cuadrado perfecto.
Set $q=t^2-t$ algunos $t \in N.$
A continuación, $p=2t^2-2t,$
$$r=t$$ gives $$k=t^2$$ and $$n=2t^2-t.$$