¿Cómo encontrar este sumatorio doble?

Question

Para encontrar el valor de $$\sum{m=1}^{∞}{\sum{n=1}^{∞}{\frac{m^2\cdot n}{3^m \cdot (n\cdot 3^m+m\cdot3^n)} } }$ $ no sé como proceder para este tipo de problemas. Puede proporcionar nadie un sol a este problema que me puede dar una idea para resolver más como estos :)

Answer 1

Tenemos, con un truco de la simetría clásica: $$2\sum{n=1}^{+\infty}\sum{m=1}^{+\infty}\frac{m^2 n}{3^m(m 3^n + n 3^m)}=\sum{n=1}^{+\infty}\sum{n=1}^{+\infty}\frac{\frac{m^2n}{3^m}+\frac{mn^2}{3^n}}{m3^n+n3^m}=\sum{n=1}^{+\infty}\sum{m=1}^{+\infty}\frac{mn}{3^{m+n}}=\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{3^n}\right)^2$ $ por lo tanto la serie original sólo es igual a $\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \color{red}{\frac{9}{32}}.$