Este es un ejercicio problema. Me quedé atrapado aquí y me gustaría conseguir una pista. El problema es
Supongamos $f$ es continua y $2\pi$-periódico y $|\hat{f}(n)|\leq |n|^{-3/2}$ para todos los no-cero $n\in\mathbb{Z}$. Demostrar que $f$ satisface para cualquier $x,y$: $$|f(x)-f(y)|\leq 100|x-y|^{1/2}$$
Estoy tratando de proceder de la siguiente manera: dado que los coeficientes de Fourier son absolutamente summable, voy a expandir $f$ con la serie de Fourier:
$$ \begin{aligned} |f(x) - f(y) | &= \left| \lim_{N\rightarrow \infty} (S_Nf(x) - S_Nf(y)) \right| \\ &\leq \lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^N \left|\hat{f}(n)\right|\left|e^{inx} - e^{iny}\right| \\ &\leq \lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=-N,n\neq 0}^N |n|^{-3/2} \left|e^{inx} - e^{iny}\right| \\ \end{aligned} $$
La próxima quiero conseguir algunos Titular de la continuidad de la propiedad para $e^{inx}$ con el fin de proceder:
$$ \begin{aligned} \sup_{x,y}\frac{\left| e^{inx} - e^{iny}\right|}{|x-y|^{1/2}} &= \sup_{x,y}\left( \frac{\left| e^{inx} - e^{iny}\right|}{|x-y|} \right)^{1/2} \left| e^{inx} - e^{iny}\right|^{1/2} \\ &\leq \sup_{x,y}\left( \sup_{\xi\in[x,y]} \left|ine^{in\xi}\right|\right)^{1/2} \sqrt{2} \\ &\leq \sqrt{2n} \end{aligned} $$
Sin embargo, si yo simplemente enchufe en la desigualdad original, voy a tener una infinita suma de $1/n$, que no convergen. Yo creo que cualquiera necesita para mejorar el Titular de la continuidad, la estimación de $e^{inx}$ o de la necesidad de proceder de una manera completamente diferente. Pero actualmente estoy atascado aquí. Cualquier ayuda o sugerencia será muy apreciada! Muchas gracias!
