Aquí es Prob. 2, Cap. 6, en el libro Principios de Análisis Matemático por Walter Rudin, 3ª edición:
Supongamos que $f \geq 0$, $f$ es continua en a $[a, b]$, e $\int_a^b f(x) \ \mathrm{d} x = 0$. Demostrar que $f(x) = 0$ todos los $x \in [a, b]$.
Mi Intento:
Deje $c$ $d$ ser cualquiera de los puntos en $[a, b]$ tal que $c \leq d$. Como $f(x) \geq 0$ todos los $x \in [a, b]$ y $f$ es continua en a $[a, b]$, lo $f(x) \geq 0$ todos los $x \in [c, d]$ $f$ es continua en a $[c, d]$; por lo tanto, $f \in \mathscr{R}$ $[c, d]$ y $$ \int_c^d f(x) \ \mathrm{d} x \geq \int_c^d \hat{0}(x) \ \mathrm{d} x = 0$$ por el Teorema 6.12 (b) en el Bebé Rudin, donde $\hat{0}$ indica el cero de la función en $[c, d]$. Es decir, $$ \int_c^d f(x) \ \mathrm{d} x \geq 0 \tag{0}$$ para cualquiera de los puntos de $c$ $d$ tal que $a \leq c \leq d \leq b$.
Supongamos que existe un punto de $p \in [a, b]$ tal que $f(p) > 0$. Entonces, como $f$ es continua en a $p$, por lo que, para cualquier número real $\varepsilon$ tal que $$ 0 < \varepsilon < \frac{ f(p) }{2}, $$ podemos encontrar un número real $\delta > 0$ tal que $$ \lvert f(x) - f(p) \rvert < \varepsilon < \frac{ f(p) }{2} $$ para todos los $x \in [a, b]$ para los que $ \lvert x-p \rvert < \delta$.
Por lo tanto, podemos concluir que $$ \frac{ f(p) }{2} < f(x) < \frac{3 f(p) }{2} \tag{1} $$ para todos los $x \in I$, donde $$I \colon= [a, b] \cap \left[ p- \frac{\delta}{2}, p+ \frac{\delta}{2} \right]. $$ Vamos a poner a $I \colon= [u, v]$. Entonces podemos ver que $$ \begin{align} \int_a^b f(x) \ \mathrm{d} x &= \int_a^u f(x) \ \mathrm{d} x + \int_u^v f(x) \ \mathrm{d} x + \int_v^b f(x) \ \mathrm{d} x \\ & \qquad \qquad \mbox{ [ by an extension of Theorem 6.12 (c) in Baby Rudin ] } \\ &\geq \int_u^v f(x) \ \mathrm{d} x \qquad \mbox{ [ by (0) above ] } \\ &\geq \int_u^v \frac{f(p)}{2} \ \mathrm{d} x \qquad \mbox{ [ using (1) and Theorem 6.12 (b) in Baby Rudin ] } \\ &= \frac{f(p)}{2} (v-u) \\ &> 0, \qquad \mbox{ [ by (2) and our choice of %#%#% and %#%#% above ] } \end{align} $$ lo que contradice nuestra hipótesis de que la $u$.
Es esto una prueba de sonido suficiente en términos de su lógica y el rigor? Si es así, entonces es también lo suficientemente lúcido en su presentación?
