Evaluar $\sum\limits_{k=2}^n \frac{n!}{(n-k)!(k-2)!} $

Question

La pregunta es para evaluar $$\sum_{k=2}^n \frac{n!}{(n-k)!(k-2)!} $$

Lo que he hecho hasta ahora es $$\sum_{k=2}^n \frac{n!}{(n-k)!(k-2)!}=n(n-1)\sum_{k=2}^n \frac{(n-2)!}{(n-k)!(k-2)!}=n(n-1)\sum_{k=2}^n \binom{n-2}{k-2}$$

Pude ver que $$\sum_{k=2}^n \binom{n-2}{k-2}$$ se parece mucho a $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=(1+1)^n$$

Por lo tanto, deberíamos tener algo como $$\sum_{k=2}^n \binom{n-2}{k-2}=(1+1)^{n-2}$$

Pero no estoy muy seguro de que esto sea cierto.

Intenté añadir $\binom{n-2}{k-2}$ con $\binom{n-2}{k-1}$ con una fórmula $\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\binom{n}{k}$ con la esperanza de reducir $n-2$ en la ampliación a $n$ pero no fue de ayuda.

Traté de considerar $(1+x)^n$ expansión y trató de diferenciarlo, pero esto tampoco fue muy útil.

Estaría agradecido si alguien puede ayudarme a aclarar esto.

Gracias

Answer 1

$$\sum_{k=2}^n{n-2\choose k-2}\quad=\quad\sum_{j=0}^{n-2}{n-2\choose j}=2^{n-2}\qquad\iff\qquad S=n(n-1)2^{n-2}$$

Answer 2

$$\sum_{k=2}^n\frac{n!}{(n-k)!(k-2)!}=\sum_{k=2}^n\frac{n!k(k-1)}{(n-k)!k!} $$ $$=\sum_{k=2}^nk(k-1)\binom{n}{k}=\sum_{k=2}^nk(k-1)\frac{n(n-1)}{k(k-1)}\binom{n-2}{k-2}$$ $$=n(n-1)\sum_{k=2}^n\binom{n-2}{k-2}=n(n-1)\sum_{j=0}^{n-2}\binom{n-2}{j}=n(n-1)2^{n-2}$$