¿Por qué la misma convergencia (relativa al período) de la fracción continua de $\sqrt{n}$ dar soluciones a la ecuación de Pell?

Question

Sea $n$ sea un número natural que no sea un cuadrado y $$\sqrt{n}=[a_0;\overline{a_1,a_2\dotsb a_r}]$$

entonces considera las convergentes

$$\frac{x_1}{y_1}=[a_0;a_1,a_2\dotsb a_{r-1}]$$

$$\frac{x_2}{y_2}=[a_0;a_1,a_2\dotsb a_{r-1},a_r,a_1\dotsb a_{r-1}]$$

etc

Conjeturo que $x_k^2-ny_k^2=\pm 1$ . Y que todas las soluciones de las ecuaciones de Pell positivas y negativas tienen esta forma.

Si $p^2-nq^2=1$ entonces $0<\frac{p}{q}-\sqrt{n}<\frac{1}{2\sqrt{n}q^2}$ . Y si $p^2-nq^2=-1$ entonces $0<\sqrt{n}-\frac{p}{q}<\frac{1}{2\sqrt{n}q^2}$ . En ambos casos $q^2\left|\frac{p}{q}-\sqrt{n}\right|<\frac{1}{2\sqrt{n}}$ Así que $\frac{p}{q}$ es en cierto sentido una muy buena aproximación de $\sqrt{n}$ y el último número del período, $a_r$ parece estar siempre $2\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ y mayor que todos los $a_1,a_2\dotsb a_{r-1}$ por lo que la siguiente mejor aproximación racional de $\sqrt{n}$ tendría un denominador "mucho" mayor que $q$ por lo que debería tener sentido que las soluciones a la ecuación de Pell aparezcan antes de $a_r$ .

$$\sqrt{397}=[19;\overline{1,12,3,4,9,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,9,4,3,12,1,38}]$$

$$\frac{20478302982}{1027776565}=[19;1,12,3,4,9,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,9,4,3,12,1]$$

Esta es la solución fundamental de la ecuación negativa de Pell $$20478302982^2-397\times 1027776565^2=-1$$

Obtención de la segunda convergente de este tipo $$\frac{838721786045180184649}{42094239791738433660}=[19;1,12,3,4,9,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,9,4,3,12,1,38,1,12,3,4,9,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,9,4,3,12,1]$$

Da la solución fundamental a la ecuación de Pell positiva

$$838721786045180184649^2-397\times 42094239791738433660^2=1$$

Es difícil no demostrar por inducción que los convergentes de esta forma alternan entre generar soluciones a las ecuaciones positivas y negativas, aunque sea muy laborioso. También lo he demostrado para los 20 primeros naturales, 61 y 92. Así que eso es un poco de evidencia computacional. Heurísticamente parece demasiado improbable que la conjetura no sea cierta.

Si la conjetura es cierta, entonces los números para los que la ecuación negativa de Pell tiene solución son los que tienen un número par de números en su período, en particular los primos congruentes con 1 mod 4.

Answer 1

Si $$ u^2 - n v^2 = -1, $$ entonces $$ (u^2 + n v^2 )^2 - n (2uv)^2 = 1. $$

Lo de que los "dígitos" de la fracción continua son palindrómicos es cierto. Conocido por Lagrange, explícito en algunas cosas por Galois. La relación con $x^2 - n y^2 = -1$ se reduce a esto: si es posible, ocurre al final de un, umm, ciclo. Otro ciclo nos lleva de nuevo a $x^2 - n y^2 = 1.$ Una breve demostración de que esto siempre es posible para los primos $n \equiv 1 \pmod 4$ está en Mordell, Ecuaciones diofantinas . La misma prueba se aplica cuando $n = pq,$ primos $p \equiv q \equiv 1 \pmod 4,$ Y símbolo de Legendre $(p|q) = (q|p) = -1,$ es decir, son no-residuos cuadráticos mutuos. Sin embargo, mire $n = 205$ o $n = 221,$ para lo cual $x^2 - n y^2 = -1$ es imposible:

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./Pell 205

0  form   1 28 -9   delta  -3
1  form   -9 26 4   delta  6
2  form   4 22 -21   delta  -1
3  form   -21 20 5   delta  4
4  form   5 20 -21   delta  -1
5  form   -21 22 4   delta  6
6  form   4 26 -9   delta  -3
7  form   -9 28 1   delta  28
8  form   1 28 -9

 disc 820
Automorph, written on right of Gram matrix:  
881  24948
2772  78497

 Pell automorph 
39689  568260
2772  39689

Pell unit 
39689^2 - 205 * 2772^2 = 1 

=========================================

  4 PRIMITIVE 
43^2 - 205 * 3^2 = 4 

=========================================

205      5 *  41

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./Pell 221

0  form   1 28 -25   delta  -1
1  form   -25 22 4   delta  6
2  form   4 26 -13   delta  -2
3  form   -13 26 4   delta  6
4  form   4 22 -25   delta  -1
5  form   -25 28 1   delta  28
6  form   1 28 -25

 disc 884
Automorph, written on right of Gram matrix:  
97  2800
112  3233

 Pell automorph 
1665  24752
112  1665

Pell unit 
1665^2 - 221 * 112^2 = 1 

=========================================

  4 PRIMITIVE 
15^2 - 221 * 1^2 = 4 

=========================================

221      13 *  17

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$

Answer 2

Mathworld establece la interesante desigualdad $$q_k^2\left|\sqrt{n}-\frac{p_k}{q_k}\right|>\frac{1}{a_{k+1}+2}$$ que es una especie de formalización de la heurística que di en el segundo párrafo. Por lo tanto, utilizando la desigualdad que di en la pregunta, si $p_k^2-nq_k^2=\pm 1$ entonces $$\frac{1}{2\sqrt{n}}>q_k^2\left|\sqrt{n}-\frac{p_k}{q_k}\right|>\frac{1}{a_{k+1}+2}$$ $$a_{k+1}+2>2\sqrt{n}$$ Pero como $$a_{k+1}<2\sqrt{n}$$ Los únicos valores $a_{k+1}$ pueden tomar son $\lfloor 2\sqrt{n}\rfloor$ y $\lfloor 2\sqrt{n}\rfloor-1$ . Desde $a_r=2a_0=2\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ entonces $p_{r-1}^2-nq_{r-1}^2=\pm 1$ de hecho.