Radio de convergencia de $\log(\Gamma(\exp(x)))$ ?

Question

En el contexto de la iteración de funciones estoy trabajando con la serie de potencias para $$ \small f(x)=\log(\Gamma(\exp(x))) =\sum_{k=1}^\infty a_k x^k \sim -0.577216 x + 0.533859 x^2 + 0.325579 x^3 + 0.125274 x^4+ O(x^5)$$ y queremos escribir sobre su radio de convergencia $\rho_f$ . Lo que he hecho ha sido escalar los coeficientes de la serie de potencias de forma que parezca que se vuelven más o menos constantes en su magnitud. Si escribo $$ c_k = \pi^k a_k $$ entonces parece que los coeficientes en los índices $ c_{4j},c_{4j+2}$ hasta $j=128$ se convierten en aproximadamente de magnitud $0.008$ y que en los índices $ c_{4j+1},c_{4j+3}$ sobre 1/100 pero sigue disminuyendo. Parece que, si aumento el factor de escala sólo un poco más de $\pi$ Siempre me encuentro con una secuencia divergente de $c_k$ - sólo que "comienzan a divergir" más tarde, donde no es visible usando series de potencia truncadas.

Si reescalo $$ d_k = (k+1) \pi^k a_k $$ entonces obtengo una convergencia impresionante del $d_{4j} \to 2$ , $d_{4j+2} \to -2$ mientras que $d_{4j+1}, d_{4j+3}$ sigue disminuyendo en magnitud; así que esto parece incluso mucho mejor. Sin embargo, la introducción del $ (k+1)$ cofactor no extiende ese radio si tenemos una secuencia de disminución geométrica (creo que sí).

Así que me inclino a decir que el radio de convergencia de $ \rho_f \sim \pi $ - ¿tiene sentido?

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[Actualización] Parece que un poco de ayuda de wolfram alpha y la decodificación de su salida dio una buena idea de tal manera que he encontrado ahora una descomposición significativa en términos de zetas, números stirling 2 º tipo y factoriales: $ \displaystyle \quad \small \begin{array} {} a_1 &=& (- 1 \gamma &.&.&.&)/1!\\ a_2 &=& (- 1 \gamma & +1 \zeta(2) &.&.&)/2! \\ a_3 &=& (- 1 \gamma & +3 \zeta(2) & -2 \zeta(3) &.&)/3! \\ a_4 &=& (- 1 \gamma & +7 \zeta(2) & -12 \zeta(3) &+6 \zeta(4)&)/4! \\ \ldots& & \ldots \end{array} $
(Debería haber visto esto antes porque ya tenía una expresión para esa serie usando la matriz-producto $ \small \operatorname{fS2F}\cdot \operatorname{ZETA} \cdot \operatorname{fS1F}$ donde los nombres de las matrices son simplemente de mis convenciones Pari/GP pero indican su contenido) Sin embargo, esto no responde inmediatamente a mi pregunta sobre el rango de convergencia, pero tal vez sea un paso en la dirección correcta

Answer 1

Pistas:

• la serie converge hasta la siguiente singularidad
• $\Gamma(x)$ nunca es 0
• $\Gamma(x)$ tiene un polo simple para $x=0,-1,-2, \dots$
• $\exp(x)$ nunca es 0
• $\exp(\pm i\pi) = -1$
• las singularidades de $\log(x)$ son los puntos de ramificación en $x=0,\infty$ .

Estas pistas deberían ser suficientes para convencerte de que la singularidad más cercana de la función $f(x) = \log (\Gamma(e^{x}))$ al origen está en $x=\pm i \pi$ que fija el radio de convergencia en $\pi$ .

Las siguientes singularidades se encuentran entonces en $x= \log(2) \pm i \pi$ y $x=\pm i 3\pi$ y así sucesivamente.

Answer 2

He aquí algunas sugerencias:

1) Intente utilizar Matriz Carleman ya que está utilizando la iteración de funciones o

2) Puedes trabajar en la función

$$ g(x)=f'(x) = e^{x}\psi(e^x) $$ y luego integrar la serie resultante término a término.