ejemplo de una secuencia de funciones $f_n \rightarrow f$ puntualmente, pero $\sup f_n \nrightarrow \sup f$

Question

¿Cuál sería un ejemplo fácil de una secuencia de funciones definidas en un intervalo compacto de manera que $f_n$ va a $f$ puntualmente, pero $\sup f_n$ no va a $sup f$ .

He pensado en el ejemplo habitual que tomamos para demostrar que los límites en la integración no se pueden intercambiar cuando sólo tenemos convergencia puntual. ¿Es esto correcto?

En $f(x)=x^n$ ¿funciona en este contexto? ¿Algún comentario o sugerencia?

Answer 1

Considere las funciones $f_n$ definido en $[0,1]$ , donde $f_n$ es la función cuya gráfica está formada por los siguientes segmentos de recta: de $(0,0)$ a $(1/n,1)$ , de $(1/n,1)$ a $(2/n,0)$ y de $(2/n,0)$ a $(1,0)$ .

Tenga en cuenta que $(f_n)$ converge puntualmente a la función cero en $[0,1]$ .

Answer 2

Dejemos que $f_n(x)=0$ si $x<n$ y y y $1$ si $x\geq n$ . Entonces $f_n\to 0$ en cuanto a los puntos, pero $\sup f_n = 1$ para todos $n$ .

Puedes conseguir ejemplos continuos con bastante facilidad.

Answer 3

Vamos $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ . Establecer $f_n(x)=x^n$ si $x<1-\frac{1}{n}$ y y y $f_n(x)=0$ si $x\geq 1-\frac{1}{n}$ . Tenga en cuenta que $\lim_{n\to\infty}f_n=f\equiv 0$ Entonces $$ \sup_{x}f_n(x)=1-\frac{1}{n} \mbox{ and } \sup_{x}f(x)=0 $$