Deje $X , Y, Z$ son espacios de Banach. $T:X\to Y$ ser lineal en el mapa y $S:Y\to Z$ ser un uno-uno lineal mapa que está acotada. Mostrar que $T$ está delimitado iff $S\circ T$ está acotada.
Por un lado es trivial, que yo sepa. Pero, ¿cómo demostrar que si $S\circ T$ es limitada, a continuación, $T$ es demasiado limitada.
Creo que tengo esto.
Desde $X, Y, Z$ son espacios de Banach, por lo que podemos utilizar el Cerrado Gráfico teorema. Queremos mostrar a $T$ está acotada. Demostramos $Gr(T)$ es cerrado. Así que tome $(x_{n}, T(x_{n})) \to (x,y)$. Eso significa que $x_{n} \to x$$T(x_{n})\to y$. Tenemos que demostrar a $T(x)=y$.
Ahora tenemos desde la $S\circ T$ está delimitado $S\circ T(x_{n}) \to S\circ T(x)$. De nuevo desde $S$ está delimitado tenemos $S(T(x_{n})\to S(y)$. Así que por la singularidad de límite que hemos $S(T(x))=S(y)$. Desde $S$ es uno-uno $T(x)=y$.
Espero que esto está bien!
El resultado es true si $S$ es bijective, de lo contrario es falsa, $S$ es invertible y limitada implica que $S$ está abierto por la asignación abierta teorema. Podemos deducir que $S^{-1}$ es continuo, por lo tanto limitada. Escribir $U=S\circ T$, y supongamos que $U$ es acotado, tenemos $T=S^{-1}\circ U$ es delimitada como producto de dos delimitadas en los mapas.
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