Diré que una variedad (lisa, compacta, sin límites) es en sí misma límite si existe alguna variedad compacta y lisa $W$ con límite, tal que $M=\partial W$ . Estoy interesado en un ejemplo no trivial de colector no orientable $M$ que está conectado y es un límite. Lo que es trivial: se puede tomar cualquier colector (compacto no orientable) $M$ y considerar el cilindro $W=M \times [0,1]$ . Por lo tanto, el límite sería $\partial W=M \sqcup M$ por lo que es fácil obtener un colector no orientable (pero no conectado) como límite. Si admitimos variedades no compactas, entonces toda variedad $M$ puede obtenerse como un límite de $M \times [0,\infty)$ . Así que me interesan esos ejemplos en los que $W$ se supone que es compacto y $M$ conectado.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El ejemplo más sencillo posible es la botella Klein. Una forma de pensar en la botella de Klein es el cociente $S^1 \times I /\sim$ , donde $(z,0) \sim (\bar z,1)$ (considerando $S^1 \subset \Bbb C$ ). (Esta forma de definirlo proviene esencialmente del representación estándar ; al equiparar las flechas rojas se obtiene $S^1 \times I$ y la relación de equiparación de las flechas azules es nuestra $\sim$ .)
A continuación, la misma construcción exacta, sustituyendo $S^1$ con $D^2$ nos da un colector cuya frontera es la botella de Klein: $D^2 \times I /\sim$ donde de nuevo $(z,0) \sim (\bar z, 1)$ .
Que esto sea lo más sencillo posible significa, en particular, que $\Bbb{RP}^2$ no delimita ningún colector compacto. Hay varias maneras de ver esto. Una de ellas es utilizar La dualidad de Lefschetz con $\Bbb Z/2\Bbb Z$ coeficientes para demostrar que para las variedades impar-dimensionales $M$ , $\chi(\partial M) = 2\chi(M)$ ; pero por supuesto $\chi(\Bbb{RP}^2) = 1$ .
De hecho, se puede demostrar que las superficies conectadas no orientables que son límites son precisamente las que son sumas conectadas de botellas de Klein. Prueba: todas las superficies conectadas no orientables son de la forma $\#_n \Bbb{RP}^2$ (es decir, la suma conectada de $n$ copias de $\Bbb{RP}^2$ ); y $\chi(\#_n \Bbb{RP}^2) = 2-n$ y como la característica de Euler debe ser par, $n$ debe ser uniforme, por lo que nuestra superficie es de la forma $\#_k K = \#_{2k} \Bbb{RP}^2$ .
Ahora observa que la suma conectada de las superficies que limitan los 3 pliegues compactos también limita un 3 pliegue compacto (considera que la suma conectada del límite de los 3 pliegues es el límite; esto es lo mismo que la suma conectada habitual, pero en lugar de pegar alrededor de una vecindad de un punto interior, lo hacemos en una vecindad de un punto en el límite).
De forma más general, un sistema cerrado $n$ -es el límite de un manípulo compacto $(n+1)$ -si y sólo si su Números de Steifel-Whitney desaparecer.
