Función gamma de argumento negativo

Question

¿Existe alguna relación entre el comportamiento límite de $\Gamma({\epsilon})$ y $\Gamma(-1+{\epsilon})? He visto la relación $\Gamma(-1+{\epsilon}) = \Gamma({\epsilon})/(-1+{\epsilon})$. ¿Creo que básicamente es incorrecta? ¿Pero existe una relación similar?

Answer 1

La relación $\Gamma(-1+\epsilon) = \Gamma({\epsilon})/(-1+{\epsilon})$ es cierta siempre que $\epsilon$ no sea un entero negativo (entonces $-1+\epsilon$ tampoco será un entero negativo) ya que la función gamma se extiende al plano complejo menos los enteros negativos utilizando la relación $\Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z$ o mediante continuación analítica.

Por lo tanto, se puede decir algo sobre el comportamiento límite de $\Gamma(\epsilon)$ y $\Gamma(-1+\epsilon)$, en el sentido de que se puede decir que

$$\lim_{\epsilon\to 0} \frac{\Gamma(-1+\epsilon)}{\Gamma(\epsilon)} = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{-1+\epsilon} = -1.$$

Hay que tener en cuenta que el hecho de que $\Gamma(z)$ no esté definida en $-1$ no afecta a esto, ya que para el límite, solo nos interesan los valores de la función cerca de $-1$.

En otras palabras, $|\Gamma(z)\vert$ tiende a infinito "a la misma tasa" que $z\to 0$ o $z\to -1$, y resultados similares podrían demostrarse en cualquier entero negativo.

Answer 2

Creo que la fórmula límite \begin{equation*}%\label{gamma-limit-eq} \lim_{z\to-k}\frac{\Gamma(nz)}{\Gamma(qz)}=(-1)^{(n-q)k}\frac{q}{n}\frac{(qk)!}{(nk)!}, \quad k\in\{0,1,2,\dotsc\} \quad n,q\in\{1,2,\dotsc\} \end{equation*} es una respuesta perfecta. Se pueden encontrar pruebas alternativas de esta fórmula límite en los artículos [1, 2, 3] a continuación.

Referencias

1. A. Prabhu y H. M. Srivastava, Some limit formulas for the Gamma and Psi (or Digamma) functions at their singularities, Integral Transforms Spec. Funct. 22 (2011), no. 8, 587--592; disponible en línea en https://doi.org/10.1080/10652469.2010.535970.
2. F. Qi, Limit formulas for ratios between derivatives of the gamma and digamma functions at their singularities, Filomat 27 (2013), no. 4, 601--604; disponible en línea en http://dx.doi.org/10.2298/FIL1304601Q.
3. L. Yin y L.-G. Huang, Limit formulas related to the $p$-gamma and $p$-polygamma functions at their singularities, Filomat 29 (2015), no. 7, 1501--1505; disponible en línea en https://doi.org/10.2298/FIL1507501Y.

Answer 3

Su relación se cumpliría si $\Gamma$ fuera continua en $-1$. Sin embargo, no lo es: intuitivamente, no podemos tomar el factorial de números enteros negativos.

Answer 4

En cuanto a la computación numérica de la Función Gamma para números reales negativos, $\Gamma(x)$, ¿se puede usar la relación:

$$\frac{1}{\Gamma(x)}\!=\!\sum\limits^{+\infty}_{m\!=\!1}c_{m}x^{m}$$

donde la única restricción establecida es $\vert x\vert \leq \infty$? Esta fórmula aparece en Abramowitz y Stegun (Manual de Funciones y Tablas Matemáticas, página 256, fórmula # 6.1.34