¿Con qué frecuencia $D(n^2) = m^2$ ocurren, donde $D(x)$ es la deficiencia de $x$?

Question

Deje $\sigma=\sigma_{1}$ denotar la clásica de la suma de los divisores. Por ejemplo, $\sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28$.

Vamos $x \in \mathbb{N}$ ($\mathbb{N}$ es el conjunto de los números naturales/enteros positivos). Indicar el número de $2x - \sigma(x)$$D(x)$. Llamamos a $D(x)$ la deficiencia de $x$.

Ahora, vamos a $m, n \in \mathbb{N}$. Aquí está mi pregunta:

¿Con qué frecuencia $D(n^2) = m^2$ ocurren, donde $D(x)$ es la deficiencia de $x$?

MI INTENTO

Tomo nota (de la OEIS secuencia de la lista) que $D(n^2) = m^2$ mantiene cuando $$(m, n) = \left\{(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 8), \ldots \right\}$$

Por eso, $n=2^r$ para los números enteros $r \geq 0$ es una familia infinita de números de satisfacer $D(n^2) = m^2$ (en particular, $m = 1$).

Se $n=2^r$ $r \geq 0$ los únicos números para que $D(n^2) = m^2$?

Answer 1

El uso de energía de la computadora, es fácil encontrar contraejemplos, por ejemplo,

$D(46^2) = 19^2$ o $D(284^2)=53^2$.

Answer 2

Es fácil demostrar que para el primer $p\neq 2$, $D(p^2) = p^2-p-1$ no es un cuadrado, ya que la mayor plaza de abajo $p^2$$p^2-2p+1 < p^2-p-1$.

También puedo probar $D((2p)^2) = p^2-7p-7$ no es un cuadrado. La prueba se ejecuta a lo largo de estas líneas: Si $p^2-7p-7=r^2$ $p$ es un extraño primo, entonces $r$ es también impar. Deje $p=2q+1, r=2s+1$ y $$ 4t^2-10q-14 = 4s(s+1) $$ por lo $q\equiv -1 \pmod 4$. Tome $q= 4w-1$, luego $$16w^2-12w-2 = s(s+1)$$ Esto implica $s$ es $1$ o $2$ mod $4$. Podemos eliminar la posibilidad de $s=4t+1$ ya que conduce a $(w+t)(4w-4t+3) = 4$ que no pueden ser satisfechas.

Tomando $s=4t+2$ obtenemos $$ 4(w^2-c^2) -3w-5t = 8 $$ deje $k=w+t$$\ell = w-t$, luego $$4k\ell - 4k + \ell = 8$$ así que podemos escribir la $\ell = 4j$. Pero $$ 4kj-k+j = 8 \implica (4j-1)k +j = 8 $$ Si $j=0$ $k$ es negativo, que no conducen a una solución, y si $j>\neq 0$, a continuación, una necesidad de verificación sólo muy pequeñas combinaciones de $k,j$ antes de que el factor delante de $k$ es mayor que $8$ nos permite y que no muestra las combinaciones de trabajo.

De hecho, razonamiento similar muestra que si $D(n^2)=m^2$ $n\neq 2^r$ $n$ tiene más de dos factores primos. Pero no puedo avanzar más allá de eso.