Inverse bin bola problema

Question

(Lo siento por el título. Me tiene dificultad para resumir este problema. Estoy abierto a sugerencias para un nuevo título.)

Supongamos que hay un número aleatorio de cajas aleatorias discretas tamaños, cada uno de los cuales contiene un número aleatorio de bolas. Cada bola tiene un tamaño de 1. La configuración es la siguiente:

• Bin $i$ tiene el tamaño de $S_i$ y contiene $K_i$ bolas.
• El número total de bolas, $B$, está dada por $\sum_{i=1}^N K_i$.
• El volumen combinado de todos los contenedores, $V$, está dada por $\sum_{i=1}^N S_i$.

Supongamos la siguiente:

• $P(S_i = s)$ todos los $s \in \{1, 2, 3,...\}$
• $P(K_i = k | S_i = s)$ todos los $k,s \in \{1, 2, 3,...\}$
• $P(B = b)$ todos los $b \in \{1, 2, 3,...\}$
• $P(V = v)$ todos los $v \in \{1, 2, 3,...\}$

Usted también puede asumir que ninguna de las anteriores variables se puede tomar el valor de $0$.

El problema es este. En términos de la anterior, encontrar una expresión para:

• $P(N=n)$, la probabilidad de que el número de contenedores es $n$.

Answer 1

No estoy seguro si este ajuste a sus necesidades, pero vamos a tratar. Considere la posibilidad de la pmf de $V$, por la ley de total probabilidad,

$$ \begin{align} \Pr\{V = v\} &= \sum_{n=1}^v \Pr\{V=v|N=n\}\Pr\{N = n\} \\ &= \sum_{n=1}^v \Pr\left\{\sum_{i=1}^n S_i = v\right\}\Pr\{N = n\} \end{align}$$

para $v = 1, 2, 3, \ldots$ donde el segundo paso supone la indepdendence entre el $S_i$ $N$

Tenga en cuenta que el lado izquierdo es el pmf de $V$ que es dado, y en el sumando el primer término implica la $n$veces convolución de la pmf de $S_i$ que puede ser calculada, y sólo el último término es el deseado pmf de $N$ a que se desconoce todavía. Así que el pmf de $N$ puede ser resuelto de forma recursiva, digo que pongan $v = 1$:

$$ \Pr\{V = 1\} = \Pr\{S_1 = 1\}\Pr\{N = 1\}$$

Después de la resolución de $\Pr\{N = 1\}$, el resto se puede resolver de forma recursiva, pero esto puede ser computacionalmente pesado.

Y la principal duda acerca de esto es que si la independencia de la asunción se justifica en su modelo. Si no, usted necesita agregar más la dependencia de los supuestos en la parte superior de la misma. También puede considerar la posibilidad de la pmf de $B$ si los supuestos son satisfechos.