Sé que $Sym (\mathbb N)$ , el grupo de todas las permutaciones en $\mathbb N$ , tiene exactamente dos no trivial normal subgrupos y ambos de estos subgrupos son de torsión , por lo que se deduce que si un subgrupo normal de $Sym(\mathbb N)$ tiene un elemento de orden infinito, entonces es la de todo el grupo . Pero estoy buscando una manera más simple de demostrar que "si un subgrupo normal de $Sym(\mathbb N)$ tiene un elemento de orden infinito, entonces es la de todo el grupo" sin tener que ir a través de la determinación de todos los subgrupos normales de $Sym(\mathbb N)$ . Es posible ? Puedo conseguir que el si $N$ es un subgrupo normal de $Sym(\mathbb N)$ que contiene un elemento de orden infinito, a continuación, $N$ contiene un elemento de orden $2$ con exactamente countably infinidad de dos ciclos y countably infinitamente muchos puntos fijos . Es este hecho importante en la demostración de una manera sencilla mi declaración ? Por favor, ayudar . Gracias de antemano
Respuesta
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Mi comentario no fue del todo bien, así que voy a intentarlo de nuevo.
Considerando el estándar de permutación representación de un (finito o infinito) diedro grupo en el que un punto de estabilizador es una reflexión, podemos ver que cualquier finito o infinito ciclo puede ser escrito como el producto de dos involuciones (es decir, los elementos de orden $2$). Así, por la descomposición de una permutación arbitraria $h$ ${\mathbb N}$ como producto de ciclos, se deduce que el $h$ es el producto de dos involuciones.
Ahora, si $g$ es una involución en ${\rm Sym}({\mathbb N})$ con infinidad de relatos y puntos fijos, entonces cualquier involución en $G$ es conjugado a $g$ o, si tiene sólo un número finito de transpostions o puntos fijos, un producto de dos conjugados de $g$. De ello se sigue que cualquier $h \in {\mathbb N}$ es el producto de más de cuatro conjugados de $g$.
