Regresión con el término de interacción que es una función de otros regresores

Question

Considere la posibilidad de la interacción simple ecuación en la que el moderador M determina el efecto de X sobre Y. $$ Y=\beta_1X+\beta_2M+\beta_3XM \quad (1) $$ a continuación, la pendiente en X es $$ \frac{dY}{dX}=\beta_1+\beta_3M \quad (2) $$ Bien. Ahora supongamos que $M=X/Z$. Se podría decir que M es sólo una transformación lineal de X, pero si X y Z son diferentes para cada una de las observaciones en un conjunto de datos, M proporciona información adicional más allá de X (creo).

Pero ahora nuestra interacción con la ecuación es $$ Y=\beta_1X+\beta_2\frac{X}{Z}+\beta_3\frac{(X^2)}{Z} \quad (3) $$ y la pendiente en X es $$ \frac{dY}{dX}=\beta_1+\beta_2\frac{1}{Z}+\frac{(2\beta_3X)}{Z} \quad (4) $$ que es muy diferente que en la ecuación (1).

Mi (tal vez mal formados), la pregunta es si es incluso aceptable para formular una regresión de esta manera, y qué repercusiones tiene en la interpretación. Tengo una bastante bien formado teoría de que va junto con la ecuación, pero me parece que no puede dar sentido a las matemáticas.

Cualquier conocimiento son apreciados.

Answer 1

Permítanme reformular su pregunta un poco. La regresión original $(1)$ es $$ Y=\beta_1 X +\beta_2M+\beta_3XM+\varepsilon, $$ donde $\varepsilon$ es el término de error. Para estudiar el efecto parcial de $X$$Y$, uno debe buscar $\mathrm{E}(Y\mid X)$. Asumiendo $\mathrm{E}(\varepsilon \mid X)=0$, tenemos $$ \mathrm{E}(Y \mid X)=\beta_1X+\beta_2\mathrm{E}(M\mid X)+\beta_3X\mathrm{E}(M\mid X), $$ $$ \frac{\mathrm{d}\mathrm{E}(Y \mid X)}{\mathrm{d}X}=\beta_1+\beta_2\frac{\mathrm{d}\mathrm{E}(M \mid X)}{\mathrm{d}X}+\beta_3\mathrm{E}(M\mid X)+\beta_3 X\frac{\mathrm{d}\mathrm{E}(M \mid X)}{\mathrm{d}X}.\quad(1) $$ Aquí (1) reconcilia con su (1) y (4) dependiendo de la relación entre el$M$$X$. Si $\mathrm{d}\mathrm{E}(M\mid X)/\mathrm{d}X=0$, $(1)$ en su pregunta.

Ahora volvamos a tu pregunta original. Está bien tener una regresión como (2) en su post. En virtud de su configuración, el efecto parcial de $X$ $\mathrm{E}(Y\mid X)$ será en función de $X$, es decir, los efectos dependerá de que el valor de $X$. En particular, hemos $$ \frac{\mathrm{{d}\mathrm{{E}}}\left(Y\mid X\right)}{\mathrm{{d}}X}=\beta_{1}+\beta_{2}\mathrm{E}\left(\frac{1}{Z}\mid X\right)+\beta_{2}X\frac{\mathrm{d}\mathrm{E}\left(1/Z\mid X\right)}{\mathrm{d}X}+2\beta_{3}X\mathrm{E}\left(\frac{1}{Z}\mid X\right)+\beta_{3}X^{2}\frac{\mathrm{d}\mathrm{E}\left(1/Z\mid X\right)}{\mathrm{d}X}. $$ Así que para determinar el parcial de efectos, usted también necesita saber la media condicional de $1/Z$$X$.