Quiero demostrar que para cualquier $\Sigma_3^0$ conjunto de reales (por real entiendo un elemento del espacio de Baire $\omega^{\omega}$ ) $B$ hay un $\Pi_1^0$ conjunto de reales $A$ tal que para todos los grados de Turing $d$ , $B$ contiene un elemento de grado $d$ sólo si $A$ contiene un elemento de grado $d$ . La prueba propuesta es la siguiente: sea $R$ sea un conjunto recursivo de reales tal que para todo $\alpha\in\omega^\omega$ tenemos $$\alpha\in B\iff\exists i\forall j\exists k R(i, j, \bar{\alpha}(k)),$$ y que $$A=\{\langle i, \alpha, \beta\rangle:\forall j (\beta(j) = \mu k R(i, j, \bar{\alpha}(k)))\}.$$
Para ello, procedo del siguiente modo: para la dirección de avance, supongamos $\alpha\in B$ con grado de Turing $d$ . Entonces podemos tomar $i_0$ sea tal que $\forall j\exists k R(i_0, j, \bar{\alpha}(k))$ . Entonces podemos definir $\beta\in\omega^\omega$ como $\beta(j) = \mu k R(i_0, j, \bar{\alpha}(k))$ (conocemos las más pequeñas $k$ siempre existe, ya que $\alpha\in B$ ). Entonces, claramente $\langle i_0, \alpha, \beta\rangle\in A$ . Además, es el único elemento (que se me ocurre) que podemos construir en $A$ dado $\alpha\in B$ .
Demostrando que $[\alpha]\equiv_T [\langle i_0, \alpha, \beta\rangle]$ nos daría el resultado deseado. El sitio $\le_T$ dirección es obvia, pero la $\ge_T$ dirección no parece seguir. Construyendo $\langle i_0,\alpha, \beta\rangle$ de forma recursiva a partir de $\alpha$ no parece posible, ya que encontrar $i_0$ requiere una búsqueda ilimitada, al igual que encontrar $\beta$ . Se agradece cualquier ayuda.
