¿Cómo puede explicar la diferenciación implícita?

Question

Así que estoy tomando el cálculo 1 en línea de una universidad local (mala idea, pero lo único que se ajustaba a mi horario).

El profesor utilizó la notación $f'(x) =$ para TODAS las funciones hasta hace dos semanas. De repente cambió su notación a d/d $x$ , d $y$ /d $x$ y no ha sido capaz de explicarlo con suficiente claridad a través de vídeos.

Me estoy esforzando por aprender cómo funciona la diferenciación implícita, y llevo dos semanas dedicando seis horas diarias al estudio. Pero no lo consigo. He leído y probado los ejemplos en el opencourseware del MIT, nuestro libro de texto y cálculo para dummies.

¿Qué es este d/d? $x$ que se coloca en todas partes? ¿Dónde se coloca? ¿Por qué utilizarlo? Lo mismo ocurre con $\text{d}y/\text{d}x$ .

He tenido mucho éxito aquí, así que si alguien pudiera mostrarme cómo hacerlo se lo agradecería mucho. Esta es mi última esperanza :)

Gracias

Answer 1

Para responder a su primera pregunta,

$\frac d{dx}$ es un operador. Por lo tanto, que su función sea $f(x)$ . La notación $\frac d{dx}f(x)$ equivale a decir "la derivada de $f$ con respecto a $x$ ". A menudo veremos $\frac {dy}{dx}$ . Esto es similar. Es simplemente "la derivada de una función del $y$ con respecto a $x$ ".

Para la siguiente pregunta,

La diferenciación implícita se utiliza cuando no es necesariamente más fácil simplificar primero la ecuación. Sin embargo, podemos diferenciar la ecuación implícitamente y luego resolver la derivada. Para un ejemplo fácil:

$y^2 + x = 1$ aplicar $\frac d{dx}$

$\frac d{dx} (y^2 +x) = \frac d{dx} (1)$

Aquí la función $y$ es en realidad una función que depende de $x$ . Por lo tanto, escribiríamos formalmente $y(x)$ .

Por lo tanto, cuando tomamos la derivada podemos utilizar simplemente la regla del producto.

$\frac d{dx}(y(x) \cdot y(x)) = y'(x)\cdot y(x) + y(x)\cdot y'(x) = 2y(x)y'(x)$

Y luego diferenciar todos los demás términos con respecto a $x$ .

$2yy' + 1 = 0$

Ahora es posible resolver para $y'(x)$ que era lo que buscábamos. Este es también el "derivado de $y(x)$ con respecto a $x$ ", que acabamos de aprender que es equivalente a $\frac d{dx} {y(x)}= \frac {dy}{dx}$ ¡!

Espero que esto haya aclarado algunas cosas.

Answer 2

Esta pregunta es de hace varios años, pero la notación de cálculo puede ser confusa para los recién llegados y pensé que una explicación no técnica podría ser útil para algunos lectores.

En primer lugar, consideremos el símbolo $d \over dx$ . El $d$ en el símbolo sólo se refieren a la diferenciación. Obsérvese que hay un $x$ por el $d$ en el "denominador" pero no hay nada al lado del $d$ en el "numerador". Puedes leer este símbolo como "la derivada de ..." Cuando veas que se utiliza este símbolo, habrá una función (por ejemplo, $f(x) = x^2 + 3$ ) bien colocado junto al símbolo, así: $ \frac {d}{dx} (x^2+3)$ o colocado en el "numerador", así: $ \frac {d(x^2+3)}{dx}$ . De cualquier manera, esto se lee simplemente "la derivada con respecto a $x$ de $x^2+3$ ". Lo mismo podría expresarse como $d f(x) \over dx$ que puede leerse como "la derivada con respecto a $x$ de $f(x)$ ".

Obviamente, querrías decir algo sobre la derivada con respecto a $x$ de la función $f(x)$ . Así que podrías completar el enunciado matemático de la siguiente manera:

$$\frac {d (x^2+3)}{dx} = 2x$$

Esta afirmación se leería como "el derivado con respecto a $x$ de $x^2+3$ es $2x$ ". O bien, se podría decir "la derivada con respecto a $x$ de $f(x)$ es $2x$ ".

Oirá a la gente referirse a este símbolo ( $d \over dx$ ) como un operador que puede interpretarse como que "estamos tomando la derivada de esta función", o "la derivada de esta función es ..." (cualquiera que sea esa función).

Así que, en respuesta a una de las preguntas de Andrew más arriba (contenida en un comentario) "¿cómo sé dónde poner el $d \over dx$ ?", la respuesta es que se pone donde se pretende decir "la derivada de ... ". Por ejemplo, para expresar matemáticamente que la derivada de $x^3 - 5x$ es $3x^2-5$ podría escribir:

$$\frac {d}{dx}(x^3-5x) = 3x^2-5$$

Es habitual ver la "notación prima" utilizada de la misma manera. Si la función anterior se definió como $y = x^2 + 3$ en lugar de $f(x) = x^2 + 3$ , entonces se vería comúnmente la siguiente notación alternativa:

$$y^{'} = 2x$$

Lo mismo podría expresarse como

$$\frac {d (y)}{dx} = 2x$$

En este caso, la notación $y^{'}$ significa "la derivada de la función $y$ ". Aquí el símbolo utilizado no indica la variable "con respecto a", pero en este caso es seguro asumir que es la derivada con respecto a $x$ . Del mismo modo, la notación $\frac {d (y)}{dx}$ se puede hablar de "la derivada con respecto a $x$ de la función $y$ ". Por lo tanto, siempre que se quiera expresar matemáticamente "la derivada de algo" entonces se puede decir que utilizando el $d \over dx$ notación (o $d \over dy$ o $d \over d \theta$ o lo que sea) junto con la función que será, o ha sido, diferenciada.

También, refiriéndose a la respuesta de Eoin arriba donde Eoin mostró

$$ \frac {d}{dx}(y^2+x)= \frac {d}{dx}(1)$$

Andrew preguntó, "¿por qué el $d \over dx$ antes de la $(y^2 + x)$ y antes del 1?". Eoin estaba explicando el proceso de diferenciación implícita y cómo hay que diferenciar ambos lados de la ecuación. Simplemente estaba afirmando matemáticamente que "la derivada con respecto a $x$ de la función $y^2+x$ es igual a la derivada del valor constante 1". En ese momento, Eoin no había tomado realmente la derivada de ninguno de los dos lados de la ecuación. Simplemente estaba mostrando el paso que indica que hay que diferenciar ambos lados de la ecuación. Por lo tanto, su notación dice que la derivada del lado izquierdo de la ecuación es igual a la derivada del lado derecho.

Consideremos ahora el símbolo $dy \over dx$ . Como se ha señalado anteriormente (con paréntesis), este símbolo se refiere a "la derivada de $y$ con respecto a $x$ ." Es interesante que en el cálculo se aprenda a "resolver por funciones" igual que se ha resuelto por variables en el pasado.

Aquí tienes una prueba. Sin saber cuál es la función $f$ es, dime su derivada con respecto al tiempo. Bueno, es $df \over dt$ . ¿Cuál es la derivada de la función $p$ con respecto a la variable $r$ ? Es $dp \over dr$ . ¿Cuál es la derivada de $\sigma$ con respecto a $\omega$ ? Es $d \sigma \over d \omega$ . No sabes cuáles son las funciones en realidad, pero puedes expresarlas con un símbolo y luego, cuando te den más información, resolverlas.

Por ejemplo, dada la velocidad a la que cambia el radio de un círculo (es decir, la derivada del radio con respecto al tiempo, $dr \over dt$ ), se puede calcular la velocidad a la que cambia el área (es decir, la derivada del área con respecto al tiempo, $dA \over dt$ ). Del mismo modo, dada la tasa de variación del área, se puede calcular la tasa de variación del radio. Basta con encontrar una función que relacione las dos cosas (el área y el radio de un círculo en este caso) y luego diferenciarlas (en este caso, con respecto al tiempo):

$$A = \pi r^2$$ $$\frac {d}{dt}(A) = \frac {d}{dt}(\pi r^2)$$ $$\frac {dA}{dt} = 2 \pi r \frac {dr}{dt}$$

(La primera línea da la ecuación a diferenciar. La segunda línea dice que voy a diferenciar ambos lados. La tercera línea realiza realmente la diferenciación). En este caso, es probable que aún no conozcas la tasa de cambio del área (es decir $dA \over dt$ ), o la tasa de cambio del radio (es decir $dr \over dt$ ) pero eso no le impide representar esos valores con un símbolo. También se podría simplificar la notación en cierta medida si se decide hacerlo - algo como esto, tal vez:

$$A = \pi r^2$$ $$A^{'} = \frac {d}{dt}(\pi r^2)$$ $$A^{'} = 2 \pi r r^{'}$$

Ambas ecuaciones dicen exactamente lo mismo, es decir, la derivada del área del círculo con respecto al tiempo (es decir, su tasa de cambio) es 2 veces $\pi$ por el radio por la derivada del radio con respecto al tiempo (es decir, su tasa de cambio). Dado $A^{'}$ o $r^{'}$ puedes resolver el otro.

Espero que esto ayude a aclarar algo de la notación para los estudiantes nuevos en el cálculo.

Answer 3

¿Qué es la derivada de una función? Es la medida de la pendiente o tasa de cambio de una función. Entonces, ¿qué es $f'(x)$ ? es el límite de la relación de la diferencia de altura (diferencia de $f(x)$ ), a la diferencia de $x$ a medida que las diferencias llegan a cero.

Si piensa en el $d$ en $dx$ como abreviatura de "diferencia", entonces se ve inmediatamente que $df/dx$ es una notación muy sugerente para $f'(x)$ .

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

Ahora, ¿qué pasa con la diferenciación implícita? Aunque $df/dx$ no es una fracción real, sólo una buena notación, pertendiendo que es una fracción lleva a la ley de diferenciación implícita: $$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}$$ O en nuestra notación más antigua: $$f'\left(y(x)\right) \text{(derivative acc. to $ x $)}=f'(y) y'(x)$$ Ahora se ve la fuerza de la $df/dx$ notación - no hay confusión sobre qué variable se deriva la función.

Answer 4

Si das un incremento a $x$ , dejemos que $\Delta x$ el incremento correspondiente de $f(x)$ es $\Delta f(x)$ y si dejas que $\Delta x$ tienden a cero, entonces $\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}$ tiende a $f'(x)$ por definición (si ese límite existe).

$\Delta f(x)$ es la variación real de $f(x)$ correspondiente a la variación de $x$ y cuando $f'(x)$ existe, $\Delta f(x)$ tiene una parte proporcional a $\Delta x$ y un resto:

$$\Delta f(x)=f'(x)\Delta x+R(x,\Delta x).$$

El uso ha impuesto la notación

$$df(x)=f'(x)\,dx$$ para denotar el parte lineal , donde $dx$ no necesita tender a cero, y por esta razón,

$$\frac{df(x)}{dx}=f'(x)$$ mantiene lo que sea $dx$ .

---

Algunos afirmarán que $dx$ es una "cantidad infinitesimal", pero esto no es cierto con la definición moderna del diferencial.