¿Una forma más elegante de calcular este Wronskian?

Question

Mientras trabajaba en mi tarea de ecuaciones diferenciales esta semana me encontré con este problema:

Dejemos que $y^{(4)} + 16y=0$ . Calcular el Wronskian de cuatro soluciones linealmente independientes .

Es bastante sencillo encontrar cuatro soluciones de este tipo:

$\phi_1(x)= e^{\sqrt{2}x} \cos{\sqrt{2}x}$ , $\phi_2(x)= e^{\sqrt{2}x} \sin{\sqrt{2}x}$ , $\phi_3(x)= e^{-\sqrt{2}x} \cos{\sqrt{2}x}$ , $\phi_4(x)= e^{-\sqrt{2}x} \sin{\sqrt{2}x}.$

Y a partir de ahí calcular el Wronskian (es $256$ ) puede lograrse mediante el cálculo.

Sin embargo, dado que las soluciones tienen una simetría tan bonita en el círculo unitario complejo, ¿hay una forma más fácil de llegar a la solución? Intenté hacer este problema al principio evitando tomar el determinante, pero acabé gastando más tiempo del que habría gastado de todas formas en hacerlo. Quiero creer que hay una manera más fácil de hacer este problema, y siento que hay un truco que no estoy viendo.

Answer 1

Tenemos la Fórmula Liuville : $$ W(x)=W(x_0)\exp\left\{-\int_{x_0}^x\frac{a_1(x)}{a_0(x)}dx\right\} , $$ donde $W(x)$ es el Wronskian, y $a_0(x)$ y $a_1(x)$ son $$ a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{n-1}+\ldots+a_n(x)y=0. $$ Su $a_1(x)$ es cero, por lo que $$ W(x)=W(x_0)=\rm const. $$ Como somos libres de elegir cualquier constante, la respuesta es, por ejemplo, $$ W(x)=1. $$

Answer 2

Añadido : Se puede determinar el Wronskian hasta una constante multiplicativa utilizando los coeficientes de la ecuación, como se explica en Artem (mis disculpas: al principio no entendí bien lo que quería decir). Aquí esto da simplemente una función constante. Si uno está interesado en determinar esta constante desconocida de forma explícita para una base particular de soluciones, entonces la forma habitual (por ejemplo, para las EDO de funciones especiales) es mantener un número suficiente de términos en la asintótica de las soluciones. Por ejemplo, en este caso se podrían sustituir por expansiones de Taylor truncadas en el tercer orden y calcular el Wronskian eliminando todos los términos no constantes. Lo que sigue es una alternativa a eso y a la aproximación directa.

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Una opción es calcular en su lugar el Wronskian de $\phi_{\pm}=\phi_{1} \pm i \phi_2$ , $\psi_{\pm}=\phi_3\pm i\phi_4$ . El punto principal es que $$\phi_{\pm}(x)=e^{(1\pm i)\sqrt{2} x},\qquad \psi_{\pm}(x)=e^{(-1\pm i)\sqrt{2} x},$$ y las derivadas de las exponenciales son fáciles de calcular. Entonces se encuentra \begin{align} &W(\phi_+,\phi_-,\psi_+,\psi_-)=-4W(\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4)=\\ &=\sqrt{2}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2\cdot\left(\sqrt{2}\right)^3 \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1+i & 1-i & -1+i & -1-i \\ (1+i)^2 & (1-i)^2 & (-1+i)^2 & (-1-i)^2\\ (1+i)^3 & (1-i)^3 & (-1+i)^3 & (-1-i)^3 \end{array} \derecha) = &=8\prod_{1\leq j<k\leq 4}\left(\lambda_k-\lambda_j\right)=\\ &=8\cdot (-2i)\cdot(-2)\cdot(-2-2i)\cdot(-2+2i)\cdot(-2)\cdot(-2i)=-1024. \fin {align} En la 3ª línea, utilizamos la expresión para la Determinante de Vandermonde con $$\left(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\right)=\left(1+i,1-i,-1+i,-1-i\right).$$