Mi pregunta apunta en una dirección similar a Qiaochu's pero no es lo mismo (o eso creo). Permítanme que les ponga un poco en antecedentes.
Sea E una curva elíptica definida sobre algún campo numérico K. El grupo Tate-Shafarevich de E/K consiste en ciertas curvas de género 1, isomorfas a E sobre alguna extensión, con puntos en todas partes localmente. En el caso más simple de un elemento de orden 2, tal curva tiene la forma C: y 2 \=f 4 (x) para algún polinomio cuaternario f 4 (x) en K[X]; aquí, C no tiene un punto K-racional, pero tiene puntos en cada terminación de K.
Si observamos E en alguna extensión L/K, esta curva C sigue teniendo puntos en todas partes localmente, pero si tiene un punto global (en L) decimos que el elemento correspondiente en el grupo Tate-Shafarevich de E/K capitula. El lema de Heegner dice que los elementos de orden 2 no pueden capitular en extensiones de grado impar, que es el análogo de la observación igualmente trivial de que los ideales que generan una clase de orden 2 no pueden capitular (convertirse en principales) en una extensión de grado impar.
Hace más de 10 años di algunas charlas sobre la capitulación de los grupos Tate-Shafarevich. Un poco más tarde el tema se puso casi de moda bajo el nombre de "visualizar" elementos de Sha. En aquel entonces discutí la siguiente cuestión con Farshid Hajir, pero finalmente no salió nada. Aquí está. Para la capitulación de clases ideales, existe una extensión "canónica" en la que esto ocurre: el campo de clases de Hilbert. Así que mi pregunta es:
- ¿podemos seguir soñando con la existencia de una curva con todas las propiedades adecuadas, o hay razones para que tal cosa no exista?
También sabemos que la capitulación no es la noción correcta para definir el campo de clase Hilbert, que es la mayor extensión abeliana no ramificada de un campo numérico. Estas nociones no parecen tener ningún sentido para las curvas elípticas, pero podemos caracterizar el campo de clase de Hilbert también de la siguiente manera: entre todas las extensiones finitas L/K para las que la norma del grupo de clase de L hasta K es trivial, el campo de clase de Hilbert es el más pequeño.
Tomar la norma de Sha de una curva elíptica definida sobre L hasta K tiene sentido (sólo hay que añadir las clases de equivalencia de los espacios homogéneos conjugados usando la construcción Baer-sum o en el grupo de cohomología apropiado). Así que esta es mi segunda pregunta:
- ¿Se ha estudiado este "mapa normativo" en la literatura?
(Sé que se ha investigado mucho el mapa normativo de E(L) a E(K), en particular en relación con los puntos de Heegner).
Permítanme añadir que no asumo que tal "curva de clase Hilbert" pueda encontrarse entre las curvas elípticas definidas sobre algún campo de extensión; si existe un objeto adecuado, podría ser el jacobiano de una curva de género superior o una variedad abeliana procedente de no sé dónde.
