Variante de la Vitali que Cubre Lema

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema, el cual se basa en un problema de Stein y Shakarchi:

Demostrar la siguiente variante de la Vitali que Cubre Lema: Si E es un conjunto finito de medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$, entonces para cada a $\eta > 0$ existe una discontinuo colección de bolas $\{B_j \}^{\infty}_{j=1}$ tal que $m(E / \bigcup_{j=1}^\infty B_j) = 0$$\sum_{j=1}^\infty m(B_j) \leq (1+\eta)m(E)$.

Parece que el mejor lugar para comenzar es buscar a Stein y Shakarchi la prueba de la Vitali convering lema (u otra prueba) y, a continuación, de alguna manera modificar esto, aunque me parece que no puede cerrar la brecha. Cualquier ayuda con esto sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Ver Teorema 2.2 aquí en la página.26. Su conjunto $E$ se llama $A$ en allí. Siga la prueba y el aviso de que $\bigcup_i B_i \subset U$ y $U$ es un conjunto abierto que contiene a $A$ con la medida $$m(U)\leq (1+7^{-n})m(A).$$ Here $$ n es la dimensión del espacio.

Para su $\eta$ usted podría comenzar con $U$ (que contiene a $A$) tales que $$m(U) \leq (1+7^{-(n+k)})m(A),$$ where $k$ is such that $7^{-(n+k)}m(A)<\eta$. Then you will obtain $$m(\bigcup B_i)\leq m(U) \leq m(A)+\eta.$$