Demuestra que $[0, 1)\times[0, 1)$ es homeomorfo a $[0, 1]\times[0, 1)$ pero no a $[0, 1]\times[0, 1]$ .

Question

Demuestra que $[0, 1)\times[0, 1)$ es homeomorfo a $[0, 1]\times[0, 1)$ pero no a $[0, 1]\times[0, 1]$ . Cuando esbozo estos espacios esta afirmación tiene sentido intuitivamente porque $[0, 1]\times[0, 1]$ está cerrado y $[0, 1)\times[0, 1)$ y $[0, 1]\times[0, 1)$ les "falta" parte de su límite, lo que las haría cerradas. También lo sé, $[0, 1]\times[0, 1]$ es compacto y los espacios compactos no son homeomorfos a espacios no compactos.

Me cuesta decirlo explícitamente, como es evidente por la torpeza de la redacción anterior.

Answer 1

En cuanto al hombre impar fuera, ya lo has dicho todo: sólo uno de los tres espacios es compacto, y la compacidad es una propiedad topológica, por lo que no es homeomorfo a los otros.

En cuanto a demostrar que los otros dos son homeomorfos, yo le preguntaría al instructor si realmente espera que escribas las ecuaciones, o si aceptaría algo como "es intuitivamente obvio que cada una de esas desgraciadas cosas es homeomorfa a un disco cerrado menos un arco cerrado en la circunferencia", o si tiene en mente alguna forma inteligente de demostrarlo rigurosamente sin escribir un lío de ecuaciones.

Answer 2

Tu argumento de la compacidad está bien para la mitad del problema.

Demostrando que $[0,1)\times[0,1)$ es homeomorfo a $[0,1]\times[0,1)$ requiere un poco más de trabajo si quieres hacerlo con rigor. Una forma de hacerlo es utilizar la expansión radial desde el centro de cada cuadrado para asignar $[0,1]\times[0,1]$ homeomórficamente sobre el disco cerrado de radio $\frac12\sqrt2$ centrado en $\left\langle\frac12,\frac12\right\rangle$ . Este mapa toma $[0,1)\times[0,1)$ en todo el disco excepto el arco cerrado de la frontera que se encuentra en o por encima del diámetro de la pendiente $-1$ y se necesita $[0,1]\times[0,1)$ en todo el disco excepto en el arco cerrado en la frontera entre ese diámetro y el diámetro de la pendiente $1$ y por encima del centro del disco. Entonces puedes hacer una deformación angular para demostrar que estos dos discos a los que les faltan segmentos cerrados de sus límites son homeomorfos. Este último paso te resultará más fácil si primero trasladas los discos para situar sus centros en el origen.

Answer 3

Tienes toda la razón en que la prueba de que $[0,1) \times [0,1)$ no es homeomorfo a $[0,1]^2$ se hace más fácilmente mediante un argumento de compacidad como el que has descrito. No está claro qué problema tienes con eso. Para demostrar que es homeomorfo de $[0,1]\times[0,1)$ podría hacerse más fácilmente considerando cómo se podría escribir un homeomorfismo utilizando coordenadas polares (básicamente, se quiere exprimir $\theta$ y luego agitar $r$ para que coincida).