$\epsilon - \delta$ definición de continuidad?

Question

Tratando de recordar el $\epsilon, \delta$ definición de continuidad, se me ocurrió lo siguiente:

Una función es continua en $x$ si $\forall \epsilon > 0 \; \exists \; \delta > 0: |f(x-\delta) - f(x+\delta)| < \epsilon$ .

Es muy probable que esto no sea equivalente a la definición de continuidad de Weierstrass en $c$ :

$\forall \epsilon > 0 \; \exists \; \delta > 0: |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(c)| < \epsilon $ .

¿Podría señalar en qué punto la primera afirmación no es equivalente a la de Weierstrass?

Muchas gracias.

Answer 1

La definición de Weierstrass considera todo valores de $x$ a poca distancia $\delta$ de $c$ .

Su definición sólo dice que hay dos puntos equidistantes de $x$ cuya diferencia en los valores de la función es inferior a $\epsilon$ .

Considere la función $f$ que es constantemente 0 excepto para $f(0) = 1$ . Está claro que esto no es continuo, pero siguiendo su definición, para cualquier $\epsilon > 0$ Ciertamente, puedo escoger cualquier $\delta$ para que $$|f(-\delta) - f(\delta)| = 0 < \epsilon$$

Answer 2

Sugerencia Para ambas definiciones, considere la continuidad en $0$ de

$$f(x) =\left\{ \begin{array}{ll} 132 & \text{if } x = 0 \\ 0 & \text{else} \end{array}\right. $$

Answer 3

Esto puede parecerte natural, pero tiene algunos problemas serios. Por ejemplo, dice que toda función par es continua en $0$ --no es realmente aceptable, ¿verdad?