En Euclid de la prueba de la infinitud de los números primos y la generación de números primos

Question

Así que mirando Euclides prueba dice 1)tomar un número finito de la familia de los números primos (F) 2)multiplicar todos los números primos y agregar uno 3)este nuevo número tiene al menos 1 nuevo primer factor

Así que me preguntaba acerca de qué tipo de números primos que se obtiene de forma recursiva la alimentación de este proceso en sí mismo.

Dado que el número debe factor crece de manera exponencial, es difícil obtener una gran cantidad de evidencia numérica de lo que sucede.
He calculado unos pocos:

[2]-> [2,3]-> [2,3,7]->[2,3,7,43]->[2,3,7,43,13,139]->[2,3,7,43,13,139,3263443] ->[2,3,7,43,13,139,3263443,547,607,1033,31051]-> no puede factor 113423713055421844361000443

[5] (x5)-> [5,2,3,31,7,19,37,3343,79,193662529] -> no puede factor 234069798025176583891

Obviamente un par de primos que faltan, 5,11,19,etc de la primera lista, pero podría aparecer más tarde.

Así que mi pregunta es ¿finita de la familia de los números primos existen que finalmente genera todos los números primos? Me imagino que esto probablemente no tiene una respuesta fácil, pero cualquier información relativa a este proceso se agradece, o incluso por qué no se puede hacer.

Answer 1

Muchos han considerado a esta pregunta, y las variantes de esta pregunta, en su estudio de la teoría de números. Es una buena pregunta en que es fácil de plantear y divertido pensar. No es una buena pregunta en la que muy poco se parece a ser conocido.

Quizás la variante más común de su construcción es en cada etapa no se meten en todos los factores primos de p₁*...*p_n + 1, pero sólo el menor factor primo. Yo llamo a esto "Euclides secuencia" con "semilla" inicial, conjunto finito no vacío de números primos que comienzan con. Si la semilla es {2}, este es el llamado Euclides-Mullin secuencia. Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%E2%80%93Mullin_sequence

un poco de información y otros enlaces.

Véase el Problema 6 de

http://math.uga.edu/~pete/NT2009HW1.pdf

para algunas preguntas, la mayoría sin resolver, acerca de estas secuencias. (El enlace es el primer problema que se establece a partir de un avanzado curso de licenciatura en teoría de números que enseño periódicamente en la UGA.)

Answer 2

He aquí la razón por la que mantener a los primos con multiplicidad hace que la respuesta sea "no". Si $p_n$ denota el producto de todos los números que tienen hasta el momento, donde $p_1$ es el producto de los números primos que empezar, a continuación,$p_n = p_1 ... p_{n-1} + 1$. Pero podemos reescribir esto como $p_n = p_{n-1}(p_{n-1} - 1) + 1 = f(p_{n-1})$ donde $f(x) = x^2 - x + 1$, y es bien sabido que cualquier divisor primo de $f(n)$ para un entero $n$ debe $2, 3$, o congruentes a $1 \bmod 3$, es decir, los números primos $5, 11, 17, ...$ nunca aparecen (a menos que se dividen $p_1$ a empezar.)

(Dibujo: si $q | x^2 - x + 1$$q | x^3 + 1$, por lo tanto $x$ orden $6 \bmod q$ o $q = 2, 3$. Desde el grupo multiplicativo $\bmod q$ orden $q - 1$, esto es posible si y sólo si $6 | q-1$.)

Answer 3

Va con lo que Qiaochu Yuan dijo acerca de f(x), se sigue que no será nunca obtener los números primos, a menos de empezar, incluso si nosotros no incluyen multiplicidades. Ya estamos empezando con 'n', entonces estamos tomando los factores primos de 'n+1', entonces estamos tomando los factores primos de f(n+1), entonces f(f(n+1)), entonces f(f(f(n+1))), etc, incluso si tenemos, por ejemplo, un 7² allí, nuestro número es [f(f(f(n+1)))] / 7, que luego va a f(x). Así que no, a menos que se inicia con el infinito producto $p_1 = \prod_{n=1}^\infty 6n-1$, por lo que nunca van a llegar a cualquiera de esos números.

Es curioso, sin embargo; yo había tenido toda una demostración comenzado a mostrar que usted nunca va a conseguir una multiplicidad cuando se toma f(f (f(2)...)), pero esto es más simple. Como para la de Euclides-Mullin secuencia, no tengo idea.