Estoy teniendo un tiempo difícil la solución de las ecuaciones para determinar el $a \in \Bbb R$ para los que
$$M_a = \left \lbrace {(x,y)\in \mathbb {R}^2} \mid {y^2= x^3 + a}\right \rbrace$$
es un submanifold de $\Bbb R^2$.
He definido $F: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ $F(x,y)=y^2-x^3-a$ tal que $M_a = F^{-1}(0)$ $F$ es suave. Por la preimagen teorema $M_a$ $1$ dimensiones submanifold si $M_a$ no contiene los valores críticos de $F$. Para calcular los valores críticos de $F$,
$$D_{(x,y)}F = \begin{bmatrix} -3x^2 & 2y \end{bmatrix} = 0$$
y para $(x,y)$ a ser un punto crítico de $F$ debía de estar en la parábola $y=-\frac{3}{2} x^2$. Así que la búsqueda de los puntos de intersección de $M_a$ y la parábola, que son todos los puntos críticos de $F$$M_a$, ya que queremos encontrar $a$ tal de que no hay puntos de intersección.
La sustitución de la parábola eq. en la definición de la eq. de $M_a$ tenemos
$$a = \frac{9}{4} x^4-x^3 = x^3(\frac{9}{4}x-1)$$
¿Cómo debo proceder? Un simple $a \lt 0$, $a \gt 0$, $a=0$ caso de análisis no conduce a nada, ya que para $a \lt 0$,$x$, es decir,$0 \lt x \lt \frac{4}{9}$, de tal manera que esto es verdad, y también podemos encontrar $y$$x$. Jugando con la trama en Mathematica me encontré con que $a \approx -0.01$ es el punto de inflexión. Para todos los $a$ mayor que la que hay dos puntos de intersección y para todos los $a$ más pequeños que los que no hay ninguno. Puede que alguien me muestre cómo esto podría ser extraídos a partir de los cálculos anteriores?
Aquí está una parcela para la $a=0.2$
Y una parcela para la $a=-0.005$
