Adjunto de un operador

Question

Mi pregunta es: ¿hay cualquier mecanismo general para encontrar el adjunto de un operador sin necesidad de utilizar ninguna base? Por ejemplo, ¿cómo encontramos el adjoint de $\widehat{x}$ o $\widehat{p}$ operador, sin necesidad de utilizar alguna base? Además, amablemente dice lo mismo para el operador $a=\widehat{x}-\iota\widehat{p}$.

Answer 1

Uno debe utilizar la definición de operador adjunto, y el conocimiento acerca de la acción del operador.

Deje $\mathscr{H}$ a (separable) espacio de Hilbert con el producto escalar $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$. Dado un densamente definido operador $A$ (denso) dominio de $D(A)\subseteq \mathscr{H}$, su adjoint $A^*$ el (cerrado) operador de dominio

$$D(A^*)=\bigl\{\varphi\in\mathscr{H}, \exists \eta\in\mathscr{H}, \forall \psi\in D(A), \langle \psi,\eta\rangle=\langle A\psi,\varphi\rangle\bigr\}\;,$$

y la acción en $\varphi\in D(A^*)$ definido por $A^*\varphi=\eta$ donde $\eta$ es el mismo vector que aparecen anteriormente en la definición del dominio. En otras palabras, la acción de la adjoint $A^*$ se define, en su dominio de definición, por

$$\langle \psi, A^*\varphi\rangle=\langle A\psi,\varphi\rangle\; .$$

Una vez que usted tiene una forma explícita de la operadora, no es difícil encontrar la adjoint la aplicación de la definición. Por ejemplo, supongamos $\mathscr{H}=L^2(\mathbb{R})$, y deje $A=\hat{x}$ (multiplicación por $x$), con dominio de la rápida disminución de las funciones de prueba de $\mathscr{S}(\mathbb{R})$ y acción: $$\langle \hat{x}\psi,\varphi\rangle_2= \int_{\mathbb{R}} x\bar{\psi}(x)\varphi(x)\mathrm{d}x\; .$$ Claramente, el adjunto de la acción de $\hat{x}^*\lvert_{\mathscr{S}}=\hat{x}$, sin embargo el dominio de los adjuntos es mayor en este caso, $D(\hat{x}^*)\supset \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$, con la inclusión de ser estricto. El caso de el impulso operador $\hat{p}=-i\partial_x$ (con el mismo dominio de definición) es bastante similar, pero implica una integración por partes. El dominio de $\hat{p}^*$ en este caso es un conocido espacio funcional, la no-homogéneo espacio de Sobolev $H^1(\mathbb{R})\subset L^2(\mathbb{R})$. De hecho, si partimos de que el operador $\hat{p}$, pero con dominio de definición de $D(\hat{p})=H^1(\mathbb{R})$, nos encontramos con que $D(\hat{p}^*)=H^1(\mathbb{R})$$\hat{p}^*=\hat{p}$. En este caso, el operador auto-adjunto (mientras que cuando se define sólo en $\mathscr{S}$ sólo es simétrica, lo que significa $D(\hat{p})\subset D(\hat{p}^*)$$\hat{p}^*\lvert_{D(\hat{p})}=\hat{p}$). La anterior posición de operador sólo es simétrica, pero también tiene un único auto-adjunto de extensión dada, precisamente, por $\hat{x}^*$. Sin embargo, hay densamente definido simétrica operadores que admiten más de un uno mismo-adjoint extensión, o ninguno en absoluto.

Para encontrar el adjunto acción de combinaciones lineales de los operadores es formalmente fácil si usted sabe los adjuntos de los componentes, como se ve a partir de la definición; si la acción formal es válido en algunas de dominio, sin embargo, es mucho más difícil en general (puede ser cierto sólo para el vector $0$). En particular, vamos a $\{A_j\}_{j=1}^N$, $D=\bigcap_{j=1}^n D(A_j)$, y $A=\sum_{j=1}^N z_j A_j$ $D$ ($z_j$ son complx números). Entonces el medico adjunto de la acción es, en $D'=\bigcap_{j=1}^n D(A_j^*)$, $$A^*\lvert_{D'}=\sum_{j=1}^N \bar{z}_j A^*_j\; .$$ En el caso explícito de la OP menciona, es cierto que $a^*\lvert_{\mathscr{S}}= \hat{x}+i\hat{p}$ (es la verdad en un poco más de dominio general), sin embargo $D(a^*)\supset \mathscr{S}$ y no puede ser vectores $\psi$ para los que no es posible escribir $a^*\psi=(\hat{x}+i\hat{p})\psi$, para el lado derecho podría no tener sentido (pero el lado izquierdo todavía no, si se utiliza la definición de adjuntos). Sin límites operadores son difíciles!

Permítanme comentar que, aparte de la definición, de manera abstracta sólo unos pocos de información puede ser dada sobre el adjunto si no tenemos ninguna información acerca de la acción explícita del operador en el espacio de Hilbert. Uno de estos es la información, por ejemplo, que el adjoint $A^*$ es siempre un circuito cerrado de operador en caso de que el operador está densamente definido (pero posiblemente no se cierra en sí mismo), y que en este caso también se $D(A^*)$ es densa, a continuación, $A^{**}$ es el cierre de $A$, es decir, el más pequeño cerrado operador que contengan $A$.

Answer 2

Supongamos que $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert y $A : \mathcal{D}(A)\subset \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ es un operador lineal sobre un subespacio denso $\mathcal{D}(A)$ $\mathcal{H}$. Entonces $y\in\mathcal{D}(A^)$ iff allí existe un % constante $M$tal que $$ | \langle Ax, y\rangle | \le M\ | x\ |, \; \; \forall x\in\mathcal{D}(A). $$ En este caso, $\phi_y(x)=\langle Ax,y\rangle$ tiene una extensión única para un acotado lineal funcional en $\mathcal{H}$, lo que, por el teorema de representación de Riesz, da la existencia de un único vector $A^y$ tal que $\phi_y(x) = \langle x,A^y\rangle$. Así $\langle Ax,y\rangle = \langle x,A^y\rangle$ % todos $x\in\mathcal{D}(A)$.

Answer 3

En particular, usted sabe que $x$ $p$ son auto-adjunto, lo que significa que $x = x^{\dagger}$$p = p^{\dagger}$.

Si quieres calcular el adjunto de un operador como $a$, necesitaría complejo-conjugado y la transposición de todo en él. Usted sabe cómo hacer que para $x$$p$, entonces, ¿qué acerca de la $-i$? Se pone complejo conjugado sólo (no se puede transponer porque es un número!).

Por lo $a^{\dagger} = x^{\dagger} + ip^{\dagger} = x + ip$. Tenga en cuenta que $a$ no es auto-adjunto, debido a $a \neq a^{\dagger}$.

¿Hay algún mecanismo general para encontrar el adjunto de un operador, sin el uso de cualquier base?

Si $A$ es un operador en un espacio de Hilbert, $A^{\dagger}$ tiene sentido, incluso cuando usted no está hablando de una matriz de forma explícita, porque el $\dagger$ operación es algo que se realizan sobre los operadores en general. Las Matrices son sólo representaciones de los operadores en una cierta base para la $\dagger$ operación se lleva a una cierta forma de operar con ellos (como se señaló, es complejo-conjugación y, a continuación, transposición).

Para el operador de objetos en general, $A^{\dagger}$ significa que el operador debe actuar a la izquierda en un sujetador como $⟨ψ|A^†$ (en oposición a $A$ que debe actuar el derecho en tfe como $A|ψ⟩$).

Para saber de qué forma $A^{\dagger}$ tendrá explícitamente que usted necesita saber qué efecto tiene sobre un conjunto de estados, lo que significa que debe elegir una base.

Answer 4

Como usted puede ya ser conscientes, el espacio de Hilbert es lineal en el espacio vectorial. La función de onda o los estados cuánticos se representa como un vector en el ket-espacio, o un vector columna.

Para su conveniencia y para definir un producto interior, el espacio de Hilbert es extendida a doble espacio.k.un bra-espacio, o la compleja conjugada transpuesta del vector de columna. Para un estado de $|\psi\rangle$ en el ket-espacio, tenemos un estado $\langle \psi |$ en el doble espacio, por lo que $$ \langle \psi | \psi \rangle = ||\psi|| ,$$ donde $||...||$ representa la norma del vector.

Para cualquier estado cuántico, independientemente de la base utilizada para representar esto, la acción de un operador $\hat{A}$ en el estado $|\psi\rangle$ puede ser escrita como: $$ |\psi'\rangle = \hat{A} |\psi \rangle. $$ El adjunto del operador $\hat{A}$ se define como un operador $\hat{A}^\dagger$ tal que $$ \langle \psi'| = \langle \psi | \hat{A}^\dagger ,$$ es decir que el $\hat{A}^\dagger$ es el doble de $\hat{A}$ en el mismo sentido como el sujetador estado $\langle \psi|$ es el doble de la cy estado $|\psi\rangle$.

Matemáticamente, por razones obvias, este adjoint resulta ser el complejo conjugado de la transposición. Sin embargo, si se va a definir el espacio dual de un modo diferente, la definición matemática de adjoint tendría que ser alterado en consecuencia.