Evalué la expresión $$ n^{-2} \times \sum_{m=1}^{n-1} n \bmod m$$ for "large" $ n$ values ($10^3$, $10^4$, $10^5$, $...$) and it seems to converge to the number approximately $0.17753188$. He intentado buscar este número en internet, no encontré nada y también trató de analizar la expresión, pero mi conocimiento matemático parece ser demasiado pequeño para este problema. ¿Alguien tiene una idea de lo que podría ser este número (si tiene una forma cerrada)?
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Escribir $n\bmod m = n -m\cdot\left\lfloor\frac{n}m\right\rfloor$ y de ahí que sus sumas parciales son
\begin{align} s_n &= \sum_{m= 1}^{n-1}\,\frac1n - \frac{m}{n^2}\cdot\left\lfloor\frac{n}m\right\rfloor \\&= 1 - \frac{1}{n} -\frac1{n^2} \left( \sum_{m= 1}^{n-1}\,m \cdot \left\lfloor\frac{n}m\right\rfloor \right). \end{align}
Ahora, escribir
\begin{align} c_n = \frac1{n^2} \left( \sum_{m= 1}^{n-1}\,m \cdot \left\lfloor\frac{n}m\right\rfloor \right) &= \sum_{m= 1}^{n-1}\,\left(\frac{m}n \cdot \left\lfloor\frac1{m/n}\right\rfloor \right)\cdot\frac1n \end{align}
así que como $n\to\infty$ hemos
$$\lim_{n\to\infty} c_n =\int_0^1\,x\left\lfloor 1/x\right\rfloor\,dx.$$
De ello se desprende que $\lim_{n\to\infty}s_n = 1 - \int_0^1\,x\left\lfloor 1/x\right\rfloor\,dx$, por lo que una expresión para el límite de la suma depende de nuestra capacidad para ofrecer una forma cerrada de la expresión de esta integral. El cambio de variable $x=1/t$ rendimientos
\begin{align} \int_0^1\,x\left\lfloor 1/x\right\rfloor\,dx &= \int_1^\infty\,\frac1{t^3}\left\lfloor t\right\rfloor\,dt \\&= \sum_{n=1}^{\infty}\,n\,\int_n^{n+1}\,t^{-3}\,dt \\&= \sum_{n=1}^{\infty}\,n\,{\left[-\frac12t^{-2}\right]}_n^{n+1} \\&= \sum_{n=1}^{\infty}\,n\,\left(\frac1{2n^2}-\frac1{2(n+1)^2}\right) \\&= \frac12\,\left(\sum_{n=1}^{\infty}\,\frac1n-\frac{n}{(n+1)^2}\right). \end{align}
Observar que
$$\frac{n}{(n+1)^2} = \frac1{n+1}-\frac1{(n+1)^2}$$
para obtener que
$$\int_0^1\,x\left\lfloor 1/x\right\rfloor\,dx = \frac12\,\left(\sum_{n=1}^{\infty}\,\frac1n-\frac1{n+1}+\frac1{(n+1)^2}\right). $$
El primer bit que podemos reconocer como una telescópico de la serie y el segundo bit como el infame Basilea problema, y por lo tanto
$$\int_0^1\,x\left\lfloor 1/x\right\rfloor\,dx = \frac12\,\frac{\pi^2}{6}.$$
De ello se sigue que nuestro límite de la suma es igual a
$$1-\frac{\pi^2}{12} \simeq 0.17753296657588678.$$
user1264591
Puntos
31
He aquí un enfoque directo, que es menos elegante que @Fimpellizieri la solución, pero tal vez lo que da una idea. Tenga en cuenta la suma en orden inverso.
Los primeros n/2 términos son 1,2,...n/2-1 con un valor promedio de aproximadamente n/4 por lo que la suma es aproximadamente $n^2/8$.
A continuación, el siguiente n/3-n/2 términos son aproximadamente 1,3,5,...n/3 por lo que la suma es aproximadamente $n^2/36$.
Continuando con esto, después de dividir por $n^2$ obtenemos la suma
$\sum_{k=2}^\infty 1/(2k^2(k-1)) = 1 - \pi^2/12$.
Después de algún tipo de manipulación puede convertir esto en el problema de Basilea (o simplemente preguntar wolframalpha!).
Tenga en cuenta que este argumento es fácil de hacer riguroso.
