calculando el límite$\lim _{n\rightarrow \infty}((4^n+3)^{1/n}-(3^n+4)^{1/n})^{n3^n}$

Question

Necesitamos calcular el límite $$ \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} ((4 ^ n +3) ^ {1 / n} - (3 ^ n +4) ^ {1 / n}) ^ {n3 ^ n} $$

He intentado tomar el logaritmo, pero el límite no parece llegar a ninguna forma familiar.

Answer 1

Creo que el límite debería ser $e^{-12}$.

En primer lugar, después de volver a escribir la expresión dentro de los paréntesis, se obtiene $$ 4(1+\frac{3}{4^n})^{\frac{1}{n}} - 3(1+\frac{4}{3^n})^{\frac{1}{n}} $$ Ambas expresiones dentro de los dos soportes se puede ampliar usando Generalizada del teorema del binomio, y el líder de los términos será $$ 4(1+\frac{3}{n 4^n}) - 3(1+\frac{4}{n 3^n}) + o(1) = 1+ \frac{4}{n 3^n} + O\Big(\frac{1}{n4^n}\Big) $$

así que el límite se convierte en $$ \bigg(1 - \frac{12}{n 3^n} \bigg)^{n 3^n} \to_n e^{-12} $$

EDITAR:

debido a $O\Big(\frac{1}{n4^n}\Big)$ no afecta a la velocidad de convergencia. A ver que, considere la posibilidad de \begin{align} \Big(1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^2} \Big)^n &= \Big(\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(1+\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{n+1}{n}}\Big)\Big)^n\\ &= \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Big(1+\binom{n}{1}\frac{1}{n(n+1)} +o(1)\Big)\\ & = \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Big(1+o(1)\Big) \to_n e \end{align}

Answer 2

Siguiendo la pista de Alex con más detalles, tenemos que

• $(4^n+3)^{1/n}=4\left(1+\frac3{4^n}\right)^\frac1n=4e^{\frac1n\log \left(1+\frac3{4^n}\right)}=4\left(1+\frac3{n4^n}+o\left(\frac1{n4^n}\right)\right)=\\=4+\frac{12}{n4^n}+o\left(\frac{12}{n4^{n}}\right)$
• $(3^n+4)^{1/n}=3\left(1+\frac4{3^n}\right)^\frac1n=3e^{\frac1n\log \left(1+\frac4{3^n}\right)}=3\left(1+\frac4{n3^n}+o\left(\frac1{n3^n}\right)\right)=\\=3+\frac{12}{n3^n}+o\left(\frac{12}{n3^{n}}\right)$

entonces

ps

ps