Media del flujo irracional en el toro

Question

Dejemos que $$F(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2-\sin(2\pi x) - \sin(2\pi y)}}$$ definido en $\mathbb{T}^2$ . Aquí $\mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2/ \mathbb{Z}^2$ es el 2-toro. ¿Cómo puedo demostrar que $$ \lim_{T\longrightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_0^T F(x,\sqrt{2}x)\;dx = \iint_{[0,1]^2} F(x,y)\;dxdy?$$ ¿Qué podemos decir sobre la tasa de convergencia? Digamos que $\frac{1}{T^\alpha}$ para algunos $\alpha \in (0,1)$ ?

Answer 1

En la versión original de la pregunta $F$ era continua.

Esto es cierto para cualquier $F$ . Primero hazlo por $$F(x,y)=e^{2\pi i(nx+my)},$$ para $n,m\in\Bbb Z$ . Por lo tanto, es válido para $F$ igual a un polinomio trigonométrico. Ahora demuestre que la propiedad se conserva bajo límites uniformes...

Por supuesto, eso ya no funciona, al menos no tan sencillamente, con la versión actual de $F$ . Se podría aproximar $F$ desde abajo por funciones continuas y tratar de estimar el error en la singularidad bastante suave.

Editar: Creo que es cierto. No tengo tiempo para intentar escribir una prueba formal, pero puedo explicar más o menos por qué lo creo:

Lo fundamental es que $$\lim_{\delta\to0}\int_{-\delta}^\delta|t|^{-1/2}\,dt=0.$$

Notación: Escribamos $$\int F=\int_0^1\int_0^1 F(x,y)\,dxdy$$ y $$I_F(T)=\frac1T\int_0^TF(x,\sqrt 2x)\,dx.$$ Para $\lambda>0$ dejar $$F_\lambda=\min(F,\lambda).$$ Entonces $$\lim_{T\to\infty}I_{F_\lambda}(T)=\int F_\lambda,$$ desde $F_\lambda$ es continua. Así que si podemos demostrar que $$I_{F_\lambda}(T)\to I_F(T)$$ uniformemente para $T>0$ como $\lambda\to\infty$ hemos terminado. Y me parece que esta convergencia es de hecho uniforme en $T$ porque para cualquier número entero positivo $n$ la integral $$\int_{n/\sqrt2}^{(n+1)/\sqrt2}(F(x,\sqrt 2x)-F_\lambda(x,\sqrt 2x))\,dx$$ es cero, salvo quizá una o dos singularidades no peores que $\int_{-\delta}^\delta|t|^{-1/2}\,dt$ , donde $\delta\to0$ como $\lambda\to\infty$ .