Aquí está el problema que tengo: ($\frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1$)
Deje $(X, ||\cdot||_{X})$ ser un espacio de Banach, y deje $\ell^{p}(X) = \lbrace (x_{n})_{n=1}^{\infty} | \sum_{n=1}^{\infty} ||x_{n}||_{X}^p < +\infty \rbrace$, para algunas de las $1 \leq p < +\infty$. Probar que:
$\ell^{p}(X)$ es un espacio de Banach con respecto a la norma $||(x_{n})_{n=1}^{\infty}||_{p} = \sqrt[p]{\sum_{n=1}^{\infty}||x_{n}||_{X}^{p}}$;
Cada funcional $y^{*} \in \ell^{p}(X)$ puede ser escrito como $y^{*}((x_{n})_{n=1}^{\infty}) = \sum_{n=1}^{\infty}y_{n}^{*}(x_{n})$, donde $y_{n}^{*} \in X^{*}$, $\sum_{n=1}^{\infty}||y_{n}^{*}||_{X^{*}}^{q} < +\infty$ y $||y^{*}|| = \sqrt[q]{\sum_{n=1}^{\infty} ||y_{n}^{*}||_{X^{*}}^{q}}$.
Una muy similar pregunta ya ha sido pedido aquí: Banach valores de la secuencia de espacios de $\ell^p(X)$. Sin embargo, no es suficiente para mí para trabajar en los detalles de mi problema.
He aquí lo que tengo hasta ahora:
Yo no tengo ningún problema con la parte 1, y me gustaría omitir mi prueba aquí porque es bastante estándar, pero yo lo escriba si alguien lo solicita.
Para la parte 2:
Dado un funcional $y^{*} \in \ell^{p}(X)^{*}$, podemos definir, para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ funcional $y_{n}^{*} \in X^{*}$, $y_{n}^{*}(x) = y^{*}(0,0,...,0,x,0,...)$, donde $x$ es a $n$-ésima coordenada. $y_{n}^{*}$ son limitadas debido a $y^{*}$ está acotada. Además, para $x = (x_{n})_{n \geq 1}$, $y^{*}(x) = y^{*}(\sum_{n=1}^{\infty} (0,...,0,x_{n},0,...))= \sum_{n=1}^{\infty}y^{*}(0,...,0,x_{n},0,...) = \sum_{n=1}^{\infty} y_{n}^{*}(x_{n})$.
Por la parte 1, y debido a $X^{*}$ es también un espacio de Banach con el operador de la norma, se desprende que el $\ell^{q}(X^{*})$ es también un espacio de Banach con la correspondiente norma. Ahora, vamos a definir $Y = (y_{n}^{*})_{n \geq 1}$. $||Y||_{q} = \sqrt[q]{\sum_{n=1}^{\infty} ||y_{n}^{*}||^{q}} \in [0, +\infty]$. Quiero demostrar que esta norma no puede ser infinito, y que $||Y||_{q} = ||y^{*}||$. Por Hölder la desigualdad, $$|y^{*}(x)| = |\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}^{*}(x_{n})| \leq \sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}^{*}(x_{n})| \leq \sum_{n=1}^{\infty} ||y_{n}^{*}|| \hspace{1mm} ||x_{n}|| \leq \sqrt[q]{\sum_{n=1}^{\infty} ||y_{n}^{*}||^{q}} \sqrt[p]{\sum_{n=1}^{\infty} ||x_{n}||^{p}} = ||Y||_{q}||x||_{p},$$ so $||y^{*}|| \leq ||Y||_{q}$.
Sin embargo, parece que (para mí) es muy difícil encontrar una $x$ para que la igualdad se mantendría en la anterior desigualdad de la cadena, y aún más difícil encontrar una secuencia de $x$s, $(x^{m})$ para el cual podía dejarlo $m \to \infty$ y lograr la igualdad. Por lo tanto, estoy teniendo problemas para que prueben $Y \in \ell^{q}(X^{*})$$||Y||_{q} \leq ||y^{*}||$. La respuesta en la pregunta vinculada dice que para proceder como en $(\ell^{p})^{*} \cong \ell^{q}$, sin embargo, la prueba de que sé usos muy específicos de la construcción de una secuencia de números complejos, un lujo que no tengo en este caso.
