Caracterización de la matriz inversa

Question

Supongamos que $A$ es una matriz invertible y deje $X$ ser tal que $AX+XA=2I$. ¿Esto implica que $X=A^{-1}$?

He intentado simple álgebra manipulaciones, pero no he sido capaz de concluir. Para un ejemplo simple de matrices de 2x2 descubrí que era cierto.

Answer 1

La respuesta es No, aquí es un ejemplo contrario $$A=\left[\matrix{0&1\cr 1&0}\right],\quad X=\left[\matrix{1&1\cr 1&-1}\right]$$ aquí $A^{-1}=A\ne X$ mientras $AX+XA=2I$.

Answer 2

Creo user1551 el comentario a la pregunta es correcta, al menos si $A$ es diagonalizable. Él/ella afirma que la solución es única si y sólo si no hay dos autovalores de a $A$ suma cero. Para ver esto, observe que hay varias soluciones si y sólo si hay un no-cero de la matriz $Y$ tal que $AY+YA=0$. Si $A$ tiene una diagonal de forma $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$, esto es equivalente a la existencia de un no-cero $Z$ tal que $DZ+ZD = 0$. Escrito explícitamente en términos de los elementos de la matriz de $Z$, lo que significa $\lambda_i z_{ij} + z_{ij}\lambda_j=(\lambda_i+\lambda_j)z_{ij}=0$ todos los $i,j$. Esto tiene un valor distinto de cero solución si y sólo si al menos uno de los términos de $\lambda_i+\lambda_j$ es cero.

No estoy realmente seguro sobre el caso al $A$ no es diagonalizable. Quizás podría usar la forma normal de Jordan de a $A$ a generalizar la condición anterior.