Es allí cualquier manera que pueda, en un sistemáticamente manera, determinar la cardinalidad de un conjunto finito en el que los elementos están dadas por una expresión específica?
Por ejemplo, supongamos $A$ ser $\ A=\{1,2,3,4,5,6\}$ $B$ ser un conjunto definido por: $$B=\biggl\{\frac{a-b}{a+b} : a,b\in A\biggl\}$$ Mi pregunta es, por lo tanto, puedo de alguna manera determinar la cardinalidad del conjunto sin tener que calcular y enumerar cada elemento?
Es realmente depende de cómo se construyó el conjunto. La cosa que puede hacer las cosas más difíciles es cuando las cosas en el juego son iguales sólo una cosa es contado. Por lo general, las desigualdades son fáciles, pero el número exacto que tendría que eleminate todos los elementos equivalentes.
Por ejemplo, supongamos $A$ ser $\ A=\{1,2,3,4,5,6\}$ $B$ ser un conjunto definido por: $$B=\biggl\{\frac{a-b}{a+b} : a,b\in A\biggl\}$$
Desde $|A|=6$ y usted está tomando dos elementos en $A$ obtener el fácil desigualdad $|B| \le 6^2=36$.
Desde $B$ tiene al menos $1$ elemento $1 \le |B|$
Enumerateing a través de los valores y la evaluación en la función de $\frac{a-b}{a+b}$ tengo la siguiente tabla
$\begin{array}{rrrrrr} 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{3}{5} & \frac{2}{3} & \frac{5}{7} \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{3} & \frac{3}{7} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{7} & \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \\ -\frac{3}{5} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{7} & 0 & \frac{1}{9} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{3} & -\frac{3}{7} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{9} & 0 & \frac{1}{11} \\ -\frac{5}{7} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{5} & -\frac{1}{11} & 0 \end{array}$
Para ordenar todos los registros duplicados:
$$B=\left\{0, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{5}, \pm\frac{3}{5}, \pm\frac{1}{7}, \pm\frac{3}{7}, \pm\frac{5}{7}, \pm\frac{1}{9}, \pm\frac{1}{11}\right\}$$
Así que parece que en su ejemplo, $|B|=23$
De una manera sistemática, determinar la cardinalidad de cualquier conjunto finito? No. Para esto, sin tener que calcular y enumerar cada uno de los elementos? Ok. Las posibles combinaciones de los valores de $a$$b$$36$. De ellos, debemos eliminar los duplicados. Es decir, cuando obtenemos el mismo resultado para los diferentes valores de$a$$b$. Cuando esto sucede, tenemos:
$$\dfrac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}=\dfrac{\gamma\delta}{\gamma+\delta} $$
Cruzamos multiplicar para obtener: $\left(\alpha-\beta\right)\left(\gamma+\delta\right)=\left(\gamma-\delta\right)\left(\alpha+\beta\right) $. La multiplicación y la eliminación de los términos comunes que se le da: $$\alpha\delta=\beta\gamma$$ Ahora, ya sea $\alpha=\beta $ (and thus $\gamma=\delta )$, or not. There are $6$ cases for which $\alpha=\beta $ (and thus $\dfrac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}=0 $). We count only one, so we subtract $5$ from $36$ $(=31)$. We need to find how many duplicates are there for $\alpha\neq\beta $. If we write the number $\left(\alpha\delta\right) $ as a product of prime numbers, it will have the form: $$p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}}$$ Pero debido a que $\alpha\delta\leq36 $, only in one case we have more than two distinct primes: $2\cdot3\cdot5=30 $. This gives $3$ products of the form $\alpha\delta $: $2\cdot15=30 $, $6\cdot5=30 $ and $3\cdot10=30 $. Since $10$ and $15$ are not in $Un$, we have no duplicates. So, $\left(\alpha\delta\right) $ debe ser de la forma: $$p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}$$ Ahora, $\left(\alpha\delta\right) $ puede ser escrito como el producto de dos números de varias maneras:
$$\alpha\delta=p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}=p_{1}^{n_{1}-1}\cdot\left(p_{1}\cdot p_{2}^{n_{2}}\right)=p_{1}^{n_{1}-2}\cdot\left(p_{1}^{2}\cdot p_{2}^{n_{2}}\right)=...=p_{1}^{0}\cdot\left(p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\right) $$
Nos damos cuenta de que, con el fin de tener $p_{1}^{k}\cdot p_{2}^{l}\en Un $, that is: $p_{1}^{k}\cdot p_{2}^{l}\leq6 $, we must have $k,l\leq2 $. Por lo tanto, $$n_{1},n_{2}\in\left\{ 0,1,2\right\}$$
Desde $\alpha,\delta\leq6$, debemos tener $p_{1},p_{2}\leq5 $. But if one of the primes is $5$, for example, $p_{2}=5 $, then it is not possible to express $\left(\alpha\delta\right) $ as a product in two different ways: $p_{1}^{k}\left(p_{1}^{l}\cdot5\right)=p_{1}^{m}\left(p_{1}^{n}\cdot5\right) $. So $l=n=0 $, else $\left(p_{1}^{l}\cdot5\right)\left(p_{1}^{n}\cdot5\right)\noen Un $. But then, $\left(p_{1}^{l}\cdot5\right)=\left(p_{1}^{n}\cdot5\right) $ and thus $p_{1}^{k}=p_{1}^{m} $. So: $$p_{1},p_{2}\in\left\{ 2,3\right\}$$
Si uno de los números primos es $3$, entonces su exponente debe ser siempre $0$ o $1$, porque para $k>1 , p_{l}^{k}>6 $. Así tenemos los siguientes casos posibles:
$1\cdot2^{2}=2\cdot2$. A continuación,
$a=1\wedge b=2$ o $a=2\wedge b=1$ $(1)$
o $a=4\wedge b=2$ o $a=2\wedge b=4$ $(2)$
$2\cdot3=1\cdot\left(2\cdot3\right)$. A continuación,
$a=2\wedge b=1$ o $a=1\wedge b=2$, lo mismo que $(1)$,
o $a=2\wedge b=6$ o $a=6\wedge b=2$ $(3)$,
o $a=3\wedge b=1$ o $a=1\wedge b=3$ $(4)$
o $a=3\wedge b=6$ o $a=6\wedge b=3$ $(5)$.
$2^{2}\cdot3=2\cdot\left(2\cdot3\right)$. A continuación,
$a=4\wedge b=2$ o $a=2\wedge b=4$, lo mismo que $(2)$,
o $a=4\wedge b=6$ o $a=6\wedge b=4$ $(6)$,
o $a=3\wedge b=2$ o $a=2\wedge b=3$ $(7)$,
o $a=3\wedge b=6$ o $a=6\wedge b=3$, lo mismo que $(5)$.
Poniendo estos valus en $\dfrac{a-b}{a+b} de dólares, para todos los casos posibles, obtenemos:
$\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3} $ and $\dfrac{1-2}{1+2}=-\dfrac{1}{3} $
$\dfrac{4-2}{4+2}=\dfrac{1}{3} $ and $\dfrac{2-4}{2+4}=-\dfrac{1}{3} $
$\dfrac{6-2}{6+2}=\dfrac{1}{2} $ and $\dfrac{2-6}{2+6}=-\dfrac{1}{2} $
$\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac{1}{2} $ and $\dfrac{1-3}{1+3}=-\dfrac{1}{2} $
$\dfrac{6-3}{6+3}=\dfrac{1}{3} $ and $\dfrac{3-6}{3+6}=-\dfrac{1}{3} $
$\dfrac{6-4}{6+4}=\dfrac{1}{5} $ and $\dfrac{4-6}{4+6}=-\dfrac{1}{5} $
$\dfrac{3-2}{3+2}=\dfrac{1}{5} $ and $\dfrac{2-3}{2+3}=-\dfrac{1}{5} $
Estas son las $14$ de los casos a partir de la cual - para eliminar los duplicados - debemos contar sólo $6$. Así que restar $8$ $31$ y obtenemos $23$ posibles valores diferentes para $\dfrac{a-b}{a+b} $. Así $$\left|B\right|=23$$
Vamos a resolver el problema general.Considere la posibilidad de $A=\{ 1,2,....,n \}$$B=\{ {a-b\over a+b}:a,b\in A \}$.
Ahora, tenga en cuenta que ${a\over b}= {c\over d}\Leftrightarrow {a-b\over a+b} ={c-d\over c+d}$ i.e hay una correspondencia uno a uno entre el$B$$S= \{ {a\over b} : a,b\in A \} $.Por lo tanto, tenemos que encontrar la cardinalidad de a $S$.
Ahora, si al menos en forma de $a\over b$$c\over d$$gcd(c,d)=1$$c,d\in A$$1\le c\le a\le n$$1\le d\le b\le n$.Así, el problema es encontrar el par de números de $c,d\in A$ tal que $gcd(c,d)=1$.
Ahora, para $c>d$, para un elegido $c$, $d$ puede ser elegido en $\phi (c)$ maneras. Así, el número de $c\over d$ s.t. $c\over d$ $>1$ y $gcd(c,d)=1$ $\sum_{r=2}^{n} \phi (r)$ en números.Ahora para los números $e\over f$ $<1$ y $gcd(e,f)=1$, acabamos de intercambio de la posición de $c$ $d$ en $c\over d$ $>1$ y $gcd(c,d)=1$.Así, ellos también están en la $\sum_{r=2}^{n} \phi (r)$ en números.
Ahora, al fin, sólo considere el ${1\over 1}=1$, que no estaba en los casos anteriores.Por lo tanto el resultado requerido es $2 \sum_{r=2}^{n} \phi (r) +1$=$2 \sum_{r=1}^{n} \phi (r) -1$. Particularmente para su problema, $n=6$ $2 \sum_{r=1}^{n} \phi (r) -1=23$
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