Deje $Q \sim N (0, 1)$ $P ∼ N (0, 1)$ ser independiente de las variables aleatorias, y $G = \min(P, Q )$. Demostrar que $R^2\sim\chi^2(1),$
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Wanshan
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$1-F_Z(t) = P(Z>t) = P(X>t)P(Y>t) =\frac{1}{2\pi}\left[ \int_t^{\infty}\exp(-x^2/2) \, dx \right]^2$. Tomar la derivada de w.r.t. $t$ y podemos conseguir $$ f_Z(t) = -\frac{d}{dt}\frac{1}{2\pi} \left[ \int_t^\infty \exp(-x^2/2)\,dx \right)^2 = \frac{1}{\pi}\exp(-t^2/2)\left[\int_t^{\infty}\exp(-x^2/2)\,dx\right]. $$ Ahora vamos a $W = Z^2$ \begin{align} 1-F_W(t) = {} & P(W>t) = P(Z>\sqrt{t})+P(Z<-\sqrt{t})\\[10pt] = {} & \int_{\sqrt{t}}^{\infty}\frac{1}{\pi}\exp(-s^2/2) \left[\int_s^\infty \exp(-x^2/2)\,dx\right]\,ds \\[10pt] & {} + \int_\infty^{-\sqrt{t}}\frac{1}{\pi}\exp(-s^2/2) \left[ \int_s^{\infty}\exp(-x^2/2)\,dx\right]\,ds\\[10pt] = {} & \int_{\sqrt{t}}^{\infty}\frac{1}{\pi}\exp(-s^2/2)\left[ \int_s^\infty \exp(-x^2/2)\,dx \right] \, ds \\[10pt] & {} + \int^\infty_{\sqrt{t}}\frac{1}{\pi}\exp(-s^2/2) \left[ \int^{s}_{-\infty}\exp(-x^2/2)\,dx\right]\,ds\\[10pt] = {} & \int_{\sqrt{t}}^\infty \frac{1}{\pi}\exp(-s^2/2)\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\,ds \end{align} Tomando la derivada podemos conseguir $f_W(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp(-t/2)$, que es el mismo que $f_{\chi^2_1}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp(-t/2)$.
kasa
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116
Desde $X$ $Y$ son independientes, podemos ver que $f(x,y) = f(x)f(y)$.
Ahora, si transformamos nuestro eje de $X,Y$ $X_1,Y_1$donde $X_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(X+Y)$ $X_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(X-Y)$ - esencialmente, somos la rotación de la $XY$ el espacio a +45 grados.
Dado que la distribución $f(x,y)$ tiene simetría radial, podemos ver que $f(x_1,x_2) =f(x,y) $. A partir de esto podemos ver que, incluso $X_2$ $∼ N (0, 1)$.
Ahora, la variable $Z = min(X,Y)$ se encuentra en el espacio a la derecha de la línea de $\frac{1}{\sqrt{2}}(X-Y)$ $XY$ espacio.
Por lo tanto, la distribución de $Z^2$ es la misma que la distribución de $X_2^{2}$ - que es esencialmente una distribución de la Chi cuadrado con grados de libertad = 1.
Deje $\Phi$ ser el estándar normal de la cdf. En primer lugar, encontrar la cdf de $Z^2$. Para cualquier $z>0$,
$$ \begin{align} P(Z^2\le z) &=P(Z>-\sqrt{z})-P(Z>\sqrt{z})\\ &=P(X>-\sqrt{z})P(Y>-\sqrt{z})-P(X>\sqrt{z})P(Y>\sqrt{z})\\ &=(1-\Phi(-\sqrt{z}))^2-(1-\Phi(\sqrt{z}))^2. \\&=(\Phi(\sqrt{z}))^2-(1-\Phi(\sqrt{z}))^2. \\&=2\Phi(\sqrt z)-1 \end{align} $$
Por otro lado, $$ P(X^2\le z)=P(X\le \sqrt{z})-P(X<-\sqrt{z})=\Phi(\sqrt{z})-\Phi(-\sqrt{z})=\Phi(\sqrt{z})-(1-\Phi(\sqrt{z})) $$ Como se puede ver, $P(X^2\le z)=P(Z^2\le z)$ todos los $z$, QED.
