El mínimo número de esferas que se requiere para proteger el origen es $4$.
4 esferas es suficiente.
Considere la siguiente $4$ puntos unidad de la esfera de $S^2$,
$$
v_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}( -1,-1, -1),
v_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}( -1, 1, 1),
v_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}( 1,-1, 1),
v_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}( 1, 1, -1)
$$
se están formando los vértices de un tetraedro regular. Es fácil comprobar cada punto en $S^2$ está a una distancia angular de no más de $\cos^{-1}\frac13$ a partir de uno de estos vértices.
Para cada una de las $k = 0,1,2,3$, en lugar de una esfera de radio $( \frac{\sqrt{8}}{3} + \epsilon)\rho_k$$\rho_k v_k$. Estos 4 esferas bloquea todos los rayos de inicio en el país de origen. A fin de que no se superpongan, una condición suficiente es $$\max\left(\frac{\rho_i}{\rho_j},\frac{\rho_j}{\rho_i}\right) > 5+2\sqrt{6} \approx 9.899$$ for every $i \ne j$. By setting $(\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3)$ to $(1,10,100,1000)$, we obtain $4$ no se solapan los ámbitos completamente escudo de el origen.
4 esferas es necesario.
Dado cualquier $3$ esferas $S_1, S_2, S_3$. Deje $c_1, c_2, c_3$ ser vectores unitarios apuntando hacia sus centros. Dado cualquier rayo que apunta en la dirección $n$, si la esfera de $S_i$ bloque, tenemos $n \cdot c_i > 0$. Dado $c_1, c_2$, es fácil encontrar un vector unitario $u$ tal que $u \cdot c_1 = u \cdot c_2 = 0$, esto significa que ni $S_1$ ni $S_2$ es el bloqueo de los dos rayos que apunta en la dirección $\pm u$. Desde $S_3$ puede bloquear en la mayoría de uno de estos rayos, $3$ esferas no es suficiente para proteger el origen.
