Significado de $x^T A x$

Question

He visto el término $x^T A x$ donde $A$ es una matriz cuadrada y normalmente simétrica, que aparece en un montón de áreas diferentes del álgebra lineal. Entre los lugares donde la he visto se incluye la definición del cociente de Raleigh, la definición de matrices semidefinidas positivas/negativas y en la derivación de PCA. También he visto que a veces se refiere como la descripción de una forma cuadrática.

¿Existe alguna definición general/descripción intuitiva de lo que $x^T A x$ con respecto a un vector y una matriz?

Mi vaga comprensión es que describe cómo cambia un vector bajo una transformación lineal definida por $A$ (por ejemplo, si $A$ hace que x gire 90 $^\circ$ entonces $x^T A x = 0$ ) pero no encuentro una descripción más precisa o perspicaz de $x^T A x$ y me sorprende lo poco que he podido encontrar en Internet, teniendo en cuenta la frecuencia con la que aparece este término.

Answer 1

$$Ax$$ representa el vector $x$ después de haber sufrido la transformación lineal descrita por $A$ y

$$x^TAx$$ es el producto punto de los vectores original y transformado. Este producto punto es cero cuando los dos vectores son ortogonales, y maximizado/minimizado cuando son paralelos/antiparalelos.

Si $x$ es un vector propio de $A$ ,

$$x^TAx=\lambda x^Tx=\lambda\|x\|^2.$$

En términos más generales, $x$ es una combinación lineal de vectores propios $ue_1+ve_2+\cdots we_n$ y

$$x^TAx=\lambda_1u^2+\lambda_2v^2+\cdots\lambda_nw^2$$ es una forma cuadrática canónica. Dependiendo de los signos de las lambdas, la ecuación $x^TAx=1$ describe un elipsoide o una especie de hiperboloide.