¿Por qué son las curvas de la exponencial, registro y funciones parabólicas todo liso, aunque se cambia el gradiente en cada punto? ¿No debería ser mucho más entrecortada?
¿Por cierto, si es posible, esto se explica intuitivamente (no demasiado riguroso) y sin cálculo? Porque quiero entender esto, pero todavía no he aprendí cálculo.
El gradiente podría cambiar "en cada punto", pero es necesario recordar que los puntos pueden ser arbitrariamente cerca el uno del otro (ver "números reales"):
Cuando se reduce la distancia entre los puntos de muestreo para $e^x, x^2, \ln(x), \sin(x)$, el gradiente de cambios también se vuelven más pequeños. Después de unas pocas iteraciones, la resolución de la pantalla no es lo suficientemente alto para mostrar cualquier cambio ya, y las curvas de aspecto liso.
Por otro lado, el $|x|$ curva (valor absoluto, la curva de color verde en el gráfico) no cambiar tan pronto como $x = 0$ trazado: hay un cambio brusco de gradiente de alrededor de $x = 0$, incluso a muy alta resolución. En $x = 0$, no es posible definir un gradiente de esta curva.
Si usted zoom infinitamente en las curvas suaves, que será igual que el de las líneas rectas. Si hace zoom en $|x|$$x=0$, siempre va a ver el ángulo agudo:
Sin embargo pequeño$\varepsilon$, pasando de $x=-\varepsilon$ $x = \varepsilon$va a cambiar el gradiente de $|x|$$-1$$1$.
Bienvenido a las sutilezas de la línea real.
Yo creo que su perplejidad aquí proviene de fuentes similares a las que genera la antigua lucha para entender el continuo frente a los discretos. Es cierto que muchas de las cosas que consideramos como suave en la vida real son sólo suave a nuestro crudo sentidos; cuando se observa bajo suficientemente potentes microscopios uno ve diferentes grados de rugosidad. Finalmente, todo se reduce a si existen verdaderas infinitos en el mundo real. Pero volvamos a las curvas en el plano.
Usted no puede realmente visualizar estas cosas, o imaginar , precisamente, debido a que involucran el infinito. Por ejemplo, usted no puede comprender la idea de que no hay ningún número real junto a cualquier número real fijo, decir $0$. ¿Qué número real es "junto a"? -- Ninguno. La pregunta no tiene sentido en este contexto. Esto es lo que le mantendrá de tener muchos dolores de cabeza luchando para visualizar inherentemente no-visual de las cosas. Sin embargo, sólo uno puede entender estas cosas de forma lógica.
Entonces, para llegar a su pregunta. Creo que, en primer lugar, que todavía no hemos captado el hecho de que para las curvas planas, no hay ningún punto siguiente. Por lo tanto, el gradiente en realidad no cambio -- nosotros sólo suele pensar en estas cosas en términos de movimiento, sino que debe ser entendido como un bruto, heurística de la imagen, que bajo análisis exhaustivo no de pie. En lugar de pensar en el gradiente de, digamos, $\exp x$ como ser diferente en cada momento. Ahora si intenta imaginar esto, no puedo dejar de pensar discretamente, eso es lo que he experimentado ... uno por uno a los agregados. Pero en la recta real no hay ningún punto siguiente. Así, de una manera que personalmente he probado a acercarse a visualizar esta (en realidad es imposible, pero se puede tratar de tener una áspera visual) es imaginarlo como un ser infinitamente elástica de la cadena, de manera que entre dos puntos siempre tiene otros puntos, por lo que no hay lagunas (esto no es cierto en la vida real, incluso para las cosas que se ven continua-eventualmente llegar a la estructura atómica, donde las brechas abundan, etc.).
Así, la palabra "suave" aquí es mucho más fuerte que la forma en que usamos en la vida real. El científico que se aproxima el agua como un continuum, por ejemplo, sabe que no es realmente así. Pero, en matemáticas es en realidad el caso de que la línea real no contiene lagunas, no importa lo profundo que profundizar en él (esto se conoce como integridad). Así que pensando en la pendiente como cambiar de punto a punto, es sólo una aproximación heurística para imaginar estas cosas. Cualquier matemático sabe que no hay nada como punto a punto como se nos suele decir que la frase en la vida real. Es simplemente imposible para moverse de un punto a otro, pasando a través de cada punto intermedio, en $\mathbb R$ -- usted siempre tiene que saltar por encima de algunos (este era el supuesto clave en el Zeno famosos argumentos en contra de la moción-que asumió, tomando las cosas por su valor nominal, que el espacio-tiempo es continuo en el fuerte sentido matemático). Así que las funciones en $\mathbb R$ son en realidad la forma más sutil de lo que parecen ... esta realmente ocupado matemáticos que desarrollaron análisis en el siglo 19.
No sé que estas cosas nunca puede ser entendido de manera intuitiva, para que nadie nunca ha experimentado el infinito en la vida real. Sólo podemos captar forma abstracta y se contenta con eso -- o dificultad para sí mismo sin fin.
En resumen, las funciones lisas en $\mathbb R$ puede ser aproximada en cada punto (usted no puede visualizar este, ni siquiera intentarlo) por línea recta funciones debido a que al aplicar el zoom en un punto arbitrario en el gráfico, el gráfico se ve más y más como una línea recta -- esto es lo que significa decir que son diferenciables. Si quieres pensar en términos de movimiento, entonces es realmente imposible, para la segunda derivada de las medidas de la limitación de la tasa de cambio de la pendiente en cada punto. Por lo tanto, si usted piensa de la pendiente como cambiar de punto a punto, usted no puede dejar de imaginar una curva rota ya que simplemente no podemos imaginar a la continua. IOW, las gráficas de esas funciones son "suave", ya que son diferenciable en todos los puntos donde están definidos. Hace no importa que los gradientes pueden ser diferentes en cada punto. La onda triangular, por ejemplo, está "picado" porque hay algunos puntos en los que no se puede aproximar por una función lineal (es decir, no importa la cantidad de zoom en un punto mínimo o máximo, siempre se ve como una inclinación de la línea, no una línea recta).
Pensar y como posición de su coche en una calle. Pensar en x tiempo. Su velocidad será la derivada de la posición, así que la pendiente de la curva. Cualquier función con 'breaks' será como un paseo con sacudidas, o incluso la estrella emigra barrado sucediendo. Pero es totalmente posible tener una conducción suave con el pie en el gas, cambio de velocidad todo el tiempo (aceleración).
Porque el derivado también cambia suavemente.
Es difícil poner intuitivamente, pero imaginen tirar una bola por una colina empinada, acelera todo el tiempo (segunda derivada), por lo que la velocidad está cambiando todo el tiempo (primera derivada), pero la posición (función) todavía está cambiando sin problemas (la bola no de repente teleport), a menos que golpea una roca (no lisa).
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