Para una ecuación $f(z) = z^5 - 6z^4 + 15z^3 - 34z^2 +36z -48$ muestran que las raíces $f(z) = 0$ de esta ecuación incluyen 2 raíces puramente imaginarias, y encontrarlas.
Pensé en sustituir en $z=x+iy$ para demostrar que sólo se puede obtener una solución para $y$ s, pero eso parece un proceso realmente largo y complicado. Entonces pensé en utilizar $z=re^{i\theta}$ pero no estoy seguro de cómo usar esto para obtener las raíces de la ecuación resultante.
Su polinomio $f$ tiene coeficientes reales. Por lo tanto, si $r$ es una raíz de $f$ , $\overline r$ será otro. Si $r$ también es imaginario, entonces $\overline r = -r$ . Por lo tanto, si hay una raíz imaginaria $r$ de $f$ , entonces debemos tener $f(r)=f(-r)=0$ En otras palabras, los polinomios $f(x)$ y $f(-x)$ tienen al menos una raíz común, a saber $r$ .
Por lo tanto, calcula el GCD de $f(x)$ y $f(-x)$ ya que debe contener todas estas raíces comunes. Esto resulta ser $x^2+3$ cuyas raíces son $i\sqrt 3$ y $-i\sqrt 3$ . Por lo tanto, se trata de raíces de $f$ .
Observa que si tienes un par de raíces imaginarias conjugadas tienes un factor de la forma $(z+ai)(z-ai)=z^2+a^2$ . Aquí $a$ no tiene por qué ser un número entero, por lo que buscamos un factor de la forma $z^2+b$ con $b$ un número real positivo sustituyendo $z^2=-b$ en la ecuación original para obtener $$b^2z-6b^2-15bz+34b+36z-48=0$$
A continuación, observamos que esto se divide como $$z(b^2-15b+36)-(6b^2-34b+48)=0$$
Si buscamos un verdadero $b$ sabemos que $z$ es imaginaria para nuestras raíces por lo que ambas expresiones en $b$ debe desaparecer. Encontramos un factor común $b-3$ - el factor común aquí muestra que hay un par de raíces puramente imaginarias. Esto nos da un factor $z^2+3$ .
Este polinomio de quinto grado tiene 5 raíces (contando multiplicidades), una de ellas real y las otras conjugadas complejas. Para descartar las raíces múltiples, calcula el máximo común divisor con su derivada, que es 1. Así que tiene 5 raíces diferentes.
Por La regla de los signos de Descartes tiene como máximo 5 raíces positivas (es decir, puede tener 1, 3 o 5 raíces positivas) y como máximo 0 negativas.
El prueba de raíz racional te dice que las posibles raíces racionales son divisores de 48. Claro que sí, $p(4) = 0$ .
Mi manso sistema de álgebra computacional ( máxima ) me dice $p(z) = (z - 4) (z^2 + 3) (z^2 - 2 z + 4)$ .
Sí, tiene dos raíces puramente imaginarias.
Podrías haber averiguado esto mediante la división del juicio por $z^2 + a$ , ajustando $a$ para que la división pase...
Consideremos la función $$g(z) = f(iz) = iz^5 - 6z^4 -15iz^3 + 34 z^2 + 36iz - 48$$ Entonces, $f$ tiene una raíz imaginaria pura si (y sólo si) $g$ tiene una raíz real. Pero, si $g$ tiene una raíz real, entonces los polinomios $$R(z) = \operatorname{Re}(g(z)) = -6z^4 + 34 z^2 - 48$$ $$I(z) = \operatorname{Im}(g(z)) = z^5 - 15 z^3 + 36z = z(z^4 - 15 z^2 + 36)$$ debe tener esta misma raíz real. Por lo tanto, buscamos raíces comunes de $R$ y $I$ .
Desde $R(z)$ es cuadrática en $z^2$ cualquier raíz $z$ satisface $$z^2 = \frac{-34 \pm \sqrt{34^2 - 4(-6)(-48)}}{2(-6)} = \frac{34 \pm 2}{12} = 3, \frac{5}{2}.$$ por lo que las raíces de $I(z)$ son $$z = \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{\frac{5}{2}}.$$ Poniendo estos valores para $z$ en $I(z)$ encontramos que $z= \pm\sqrt{3}$ también son raíces de $I(z)$ (y $\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ no son raíces), por lo que $$f(\pm i\sqrt{3}) = g(\pm\sqrt{3}) = R(z) + iI(z) = 0$$ y $f$ tiene dos raíces puramente imaginarias.
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