Si $A^2=-I$, demostrar que $\det{A}=1$

Question

Si $A^2=-I$, donde $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$ y que contiene sólo las entradas de real y $I$ es la matriz identidad. Entonces ¿cómo podemos probar que $\det(A)=1$?.

Pude demostrar que $n$ debe ser un número entero uniforme. Pero no podría proceder a demostrar que $\det(A)$ puede tomar sólo el $1$, encontrar algunas matrices que satisface dichas propiedades (de la pequeña orden) también verifica la declaración dada que el determinante es sólo $1$ y no $-1$.

¿Puede alguien ayudarme con una sugerencia?

Answer 1

Que $\lambda$ sea un valor propio de $A$, con vector propio $v$.

Entonces $$v^HA^2v = v^H(-I)v.$ $ ¿qué puede concluir acerca de $\lambda$?

Ahora usan el hecho de que los valores propios de una matriz real deben venir en pares conjugado complejo, y que el factor determinante es el producto de los valores propios.