Mackey y módulos relativamente proyectivos

Question

Mientras que la lectura de más de Alperin Local de la Teoría de la Representación y recordándome a mí mismo cómo un módulo es relativamente H-proyectiva iff H contiene algunos vértice del módulo, me di cuenta de que no podía probar un básico lema relativamente H-proyectiva de módulos con mi definición favorita.

Definición: Un G-módulo de U es relativamente H-proyectiva, si U es un sumando directo de $(U_H)^G$.

Lema: Si H ≤ K ≤ G y U es un G-módulo que es relativamente H-proyectiva, entonces U es relativamente K-proyectiva.

Prueba: el Uso de la Proposición 9.1.2 para cambiar las definiciones de relativamente proyectiva de nuevo a la buena ole relación homológica definición me gustaba: H-división implica que G-split. Claramente K-división implica que H-split sólo por la restricción de la suma directa, pero entonces relativamente H-projectivity (Prop 9.1.2 estilo) da G-split, pero esto es suficiente para mostrar la relación K-projectivity (Prop 9.1.2 estilo). $\square$

Sin embargo, cuando trato de hacer esto con $U|(U_H)^G$ me confundo y parece que no puede utilizar Mackey correctamente. En Alperin de la prueba en la página 67 se utiliza una similar, pero más conveniente definición: que U es un sumando directo de un inducida por H-módulo. Suponiendo que mi pregunta anterior es correcto, este es exactamente el mismo como un sumando directo de un relativamente libre de módulo. Sin embargo, no estoy seguro de ver cómo $U|(U_H)^G$ es equivalente a $U|S^G$ para algunos H-módulo S. Presumiblemente, esta es Frobenius de la reciprocidad, pero de nuevo algo va mal cuando intento hacerlo. En cualquier caso, con la "S" de la definición que se acaba de transitividad de inducción, así que me gustaría entender.

Answer 1

La clave de la cosa que se necesita es que el $S\uparrow^G $ es relativamente $H$-proyectiva, en el siguiente sentido: para todos los surjections $M_1 \to M_2$ $G$- módulos, para todos los mapas de $\lambda: S\uparrow \to M_2$, si hay un mapa de $H$-módulos de $S\uparrow \to M_1$ hacer el diagrama conmuta la restricción a$H$, entonces hay un mapa de $G$-módulos, de forma que se conmute. Esto se desprende de la característica universal de la inducción.

Ahora aplicar esto a la surjeciton $U\downarrow \uparrow \to U$$S\uparrow \to U$, donde el primer mapa es el natural surjection y la segunda es la proyección en el $U$ factor. Hay un $H$-mapa de $S\uparrow \to U\downarrow \uparrow$ haciendo de este conmutar: proyecto en $U$, incluir esto en $U\downarrow \uparrow$$u \mapsto 1\otimes u$. De modo que hay un $G$-mapa de $S\uparrow \to U\downarrow\uparrow$ haciendo todo lo que conmutan. De este modo se limita a un $G$-mapa de $U \to U\downarrow\uparrow$ la división de la natural surjection, por lo $U|U\downarrow\uparrow$.