Dejemos que $f: [0,\infty)\to [0,\infty)$ estar acotado y ser continuo. Encontrar si existe : $$\displaystyle \lim_{n\to \infty}n\left(\sqrt[n]{\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x} \;-\;\sqrt[n]{\int_{0}^{\infty}f^{n}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}\right)$$ Nota : $f^n(x)=(f(x))^n$ Este problema se dio en un grupo de facebook y todos afirmaron que era correcto. Hasta ahora no he hecho ningún progreso. ¿Puede alguien resolverlo? Muchas gracias.
Respuesta
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Observe que
$$ n\left(\sqrt[n]{\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x} \;-\;\sqrt[n]{\int_{0}^{\infty}f^{n}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}\right) = n \left[ \exp \left( \frac1{n}\ln\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x\right)- \exp\left( \frac1{n}\ln\int_{0}^{\infty}f^{n}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x\right) \right]$$
Utilizando el teorema del valor medio
$$ n\left(\sqrt[n]{\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x} \;-\;\sqrt[n]{\int_{0}^{\infty}f^{n}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}\right) = e^{\xi_n}\ln \left(\frac{\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}{\int_{0}^{\infty}f^{n}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}\right)$$
donde $\xi_n$ es algún número entre los dos argumentos del $\exp$ en el primer conjunto de ecuaciones.
Porque $f$ está acotada, las integrales convergen
$$\int_{0}^{\infty}f^{n}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x \leq (\sup f(x))^n\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x=(\sup f(x))^n$$
También
$$\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x \leq \sup f(x)\int_{0}^{\infty}f^n(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x$$
y
$$\frac{\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}{\int_{0}^{\infty}f^n(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x} \leq \sup f(x)$$
que proporciona una cota superior para el límite del LHS.
Para obtener un límite inferior, primero hay que cambiar las variables a $u=e^{-x}$ y aplicar la desigualdad de Holder para obtener
$$\int_{0}^{1}f^{n}(-\ln u)\,\mathrm{d}u \leq \left(\int_{0}^{1}f^{n+1}(-\ln u)\,\mathrm{d}u\right)^{n/(n+1)}\left(\int_{0}^{1}\,\mathrm{d}u\right)^{1/(n+1)}=\left(\int_{0}^{1}f^{n+1}(-\ln u)\,\mathrm{d}u\right)^{n/(n+1)}$$
Reordenando y cambiando las variables de nuevo a x encontramos
$$\int_{0}^{\infty}f^{n}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x \leq \left(\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x\right)\left(\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x\right)^{-1/(n+1)}$$
y
$$\left(\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x\right)^{1/(n+1)} \leq \frac{\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}{\int_{0}^{\infty}f^{n}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}$$
Se puede demostrar que el límite del LHS es $\sup f(x)$ -- proporcionando una cota inferior para el límite de la RHS, que es idéntica a la cota superior.
Por lo tanto,
$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\int_{0}^{\infty}f^{n+1}(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}{\int_{0}^{\infty}f^n(x)e^{-x}\,\mathrm{d}x} = \sup f(x)$$
También podemos mostrar $e^{\xi_n}$ converge a $\sup f(x)$ y el límite de la expresión original es $\sup f(x) \ln(\sup f(x)).$
