Estoy haciendo este ejercicio:
Dejemos que $R = \mathbb{Z}[t]$ y que $K$ sea su campo de fracción. Demuestre que el $R$ módulo $K/R$ es divisible pero no inyectiva.
He hecho la parte divisible, pero estoy atascado en la parte inyectiva, ¿alguna pista?
Divisible implica inyectivo sólo si R es un PID. Aquí no es el caso, por lo que el contraejemplo debería reflejar eso.
Porque el submódulo $J_1=\langle 2\rangle\subset R$ es libre, tenemos un homomorfismo $f:J\to K/R$ definido por $f(2)=\dfrac1t+R$ . Podemos pegar esto con el cero $R$ -homomorfismo de módulo de $J_2=\langle t\rangle$ a $K/R$ porque $J_2\cap J_1=\langle 2t\rangle$ y $f(J_2\cap J_1)=0$ . Así, obtenemos un homomorfismo de $I=J_1+J_2$ a $K/R$ que denoto por $f$ también. Tenga en cuenta que $I$ no es un ideal principal.
La no inyectividad de $K/R$ se seguirá, si podemos demostrar que $f:I\to K/R$ no puede extenderse a un homomorfismo de $R$ -módulos $\tilde{f}:R\to K/R$ . $R$ es también un módulo libre, por lo que basta con demostrar que no hay ninguna elección compatible para $\tilde{f}(1)$ existe.
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