Dimensión irreductible módulo se divide la dimensión del álgebra?

Question

Hecho: $\chi(1)$ divide el fin de $|G|$ donde $\chi$ es una irreductible carácter de $G$.

Por encima de hecho es equivalente a decir que si $V$ es una irreductible $A=\mathbb C [G]$ módulo, a continuación, $\dim(V)$ divide $\dim(A)$.

Me pregunto si este hecho puede ser probado por módulos.(sin la utilización de caracteres teoría)

También me pregunto que si es cierto para el caso general;

Si $A$ es un álgebra sobre $\mathbb C$ $V$ es una irreductible $A$ módulo, a continuación,$\dim(V)\mid\dim(A)$ ?

Answer 1

Si $A$ $B$ son tanto álgebras y $V$ es una irreductible $A$-módulo, a continuación, $V$ es también una irreductible $A \oplus B$ módulo (donde $B$ actos trivialmente). Como la dimensión de la $A \oplus B$ $\dim A + \dim B$ $B$ es esencialmente arbitraria, la respuesta es no, $\dim(V)$ no es necesario dividir la dimensión del álgebra.

Answer 2

Me gustaría duda no es un hecho general. En primer lugar, porque de Jim contraejemplo. En segundo lugar, porque se produce un error en característica positiva (tome $\operatorname{SL}(2,p)$ $p$ impar, ver, por ejemplo, [Curtis-Reiner, (17.17)]).

Es probablemente vale la pena señalar que en el caso particular de la $A$ es semisimple álgebra de Hopf sobre un campo de característica cero, esto se llama Kaplansky sexto conjetura. Hay un mathoverflow pregunta en la que, señala que a varios agradable encuesta de artículos. No he mirado los documentos que contienen los resultados parciales. Podría ser que algunos de ellos contienen más de carácter "libre" enfoques.